《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

4.如果二次三项式$x^{2}-ax-9$在整数范围内可以分解因式,那么整数a的值可取 (B)
A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个

答案： 解：因为二次三项式$x^{2}-ax - 9$在整数范围内可以分解因式，所以设$x^{2}-ax - 9=(x + m)(x + n)$，其中$m$、$n$为整数。
展开可得$x^{2}+(m + n)x + mn$，对比系数有$mn=-9$，$-a = m + n$，即$a=-(m + n)$。
$-9$的整数因数对有：
1. $m=1$，$n=-9$，则$a=-(1 + (-9))=8$；
2. $m=-1$，$n=9$，则$a=-(-1 + 9)=-8$；
3. $m=3$，$n=-3$，则$a=-(3 + (-3))=0$；
4. $m=9$，$n=-1$，则$a=-(9 + (-1))=-8$（与情况2重复）；
5. $m=-9$，$n=1$，则$a=-(-9 + 1)=8$（与情况1重复）；
6. $m=-3$，$n=3$，则$a=-(-3 + 3)=0$（与情况3重复）。
综上，整数$a$的值为$\pm8$，$0$，共3个。
答案：B

5.如果二次三项式$x^{2}-2x+m$在整数范围内可以分解因式,那么整数m的值可取 (D)
A.1
B.-3
C.1或-3
D.无数个

答案： 【解析】：
本题考查的是二次三项式的因式分解，特别是使用十字相乘法进行因式分解。
首先，我们考虑二次三项式$x^{2} - 2x + m$。
为了使其可以分解为两个一次多项式的乘积，我们需要找到两个数，它们的和为-2，且它们的乘积为$m$。
考虑选项：
A. 当$m=1$时，$x^{2} - 2x + 1 = (x-1)^{2}$，满足条件。
B. 当$m=-3$时，$x^{2} - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$，也满足条件。
但题目问的是整数$m$的所有可能值，而不仅仅是特定值。
为了确定$m$的所有可能值，我们考虑$x^{2} - 2x + m$的因式分解形式。
设$x^{2} - 2x + m = (x-a)(x-b)$，其中$a$和$b$为整数。
那么，$a+b=2$且$ab=m$。
满足$a+b=2$的整数对$(a,b)$有$(1,1)$，$(3,-1)$，$(-1,3)$等，对应的$m$值分别为$1$，$-3$。
但由于整数对无数，且题目没有限制$m$的取值范围，实际上满足条件的$m$有无数个（例如，当$a=100, b=-98$时，$m=-198$也满足条件）。但在此题的选项中，只有$1$和$-3$是给出的可能值。
然而，从题目的表述来看，它询问的是整数$m$可以取哪些值，在给定的选项中，只有D选项表示$m$可以取无数个值（尽管这不是一个具体的数值，但从选项的逻辑上推断是合理的）。
但如果严格按照题目的选项和常规理解，我们应当选择包含所有可能整数值的选项，即D。但在此情境下，为了与选项匹配，我们应当理解为在给定选项中，$1$和$-3$都是$m$可以取的值，且题目没有限制$m$的其他可能值，因此最全面的答案是D。
但如果必须按照选择题的常规逻辑选择一个最符合题意的答案（即选择包含所有正确选项的答案），则本题存在歧义，因为通常选择题不会设置这样的“无数个”选项。但在此，我们按照题目的原始设定和逻辑推断，选择D作为答案，表示$m$可以取无数个整数值。
但在实际教学中，为了严谨性，可能会倾向于认为这是一个有歧义的题目，或者认为需要额外的信息来确定$m$的确切取值范围。不过，按照题目的选项和给出的解答逻辑，我们选择D。
但严格根据题目给出的选项和常规解题思路，我们应当选择包含所有在选项中给出的可能值的答案，即C（1或-3）是不完整的，而D（无数个）在逻辑上包含了C的情况，并扩展到其他可能的整数值，因此选择D作为最符合题意的答案。
【答案】：
D

1.因式分解:就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式.因式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止.
2.因式分解的方法
(1)提公因式法:$ma+mb+mc=$$m(a+b+c)$.
(2)公式法:
①$a^{2}-b^{2}=$$(a+b)(a-b)$;
②$a^{2}+2ab+b^{2}=$$(a+b)^{2}$;
③$a^{2}-2ab+b^{2}=$$(a-b)^{2}$.
3*.十字相乘法:$x^{2}+(p+q)x+pq=$$(x+p)(x+q)$.
4.因式分解的一般步骤:一提(提取公因式),二用(公式),三查(检查是否分解彻底).

答案：
(1)提公因式法:$ma+mb+mc=m(a+b+c)$.
(2)公式法:
①$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$;
②$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$;
③$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$.
3*.十字相乘法:$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.

例1 下列由左到右的变形,是因式分解且正确的是 (C)
A.$x^{2}-9= (x-3)^{2}$
B.$(x+3)^{2}= x^{2}+6x+9$
C.$xy-2y= y(x-2)$
D.$x^{2}-9-6x= (x+3)(x-3)-6x$
分析:根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可.

答案： 【解析】：
本题考察的是因式分解的定义及判断。
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
A. $x^{2}-9$ 应该分解为 $(x+3)(x-3)$，而不是 $(x-3)^{2}$，所以A选项错误。
B. $(x+3)^{2}$ 展开后为 $x^{2}+6x+9$，这是整式的乘法，不是因式分解，所以B选项错误。
C. $xy-2y$ 可以提取公因式 $y$，得到 $y(x-2)$，这是因式分解，所以C选项正确。
D. $x^{2}-9-6x$ 分解后为 $(x+3)(x-3)-6x$，结果并不是整式的乘积形式，所以D选项错误。
【答案】：
C

1.下列由左到右的变形,是因式分解且正确的是 (A)
A.$x^{2}-4= (x+2)(x-2)$
B.$-mx+my= -m(x+y)$
C.$x^{2}-x-2= x(x-1)-2$
D.$x-2= x(1-\frac {2}{x})$

答案： 【解析】：
本题主要考察因式分解的定义及正确性判断。
因式分解是指将一个多项式表示为几个整式的乘积。
A. $x^{2}-4= (x+2)(x-2)$
左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积，且左右两边相等，所以A选项是因式分解且正确。
B. $-mx+my= -m(x+y)$
将右边的式子展开得到：$-mx - my$，与左边的$-mx + my$不相等，所以B选项不是正确的因式分解。
C. $x^{2}-x-2= x(x-1)-2$
右边并不是整式的乘积形式，所以C选项不是因式分解。
D. $x-2= x(1-\frac {2}{x})$
右边虽然看似是乘积形式，但其中的$\frac {2}{x}$不是整式，所以D选项不是因式分解。
综上，只有A选项是因式分解且正确。
【答案】：
A

例2 将下列多项式分解因式:
(1)$a^{2}-ab$; (2)$x^{3}y-xy$;
(3)$x(x-1)-3x+4$; (4)$2a^{2}-4a+2$.

答案：
(1)解：$a^{2}-ab$
$=a(a-b)$
(2)解：$x^{3}y-xy$
$=xy(x^{2}-1)$
$=xy(x+1)(x-1)$
(3)解：$x(x-1)-3x+4$
$=x^{2}-x-3x+4$
$=x^{2}-4x+4$
$=(x-2)^{2}$
(4)解：$2a^{2}-4a+2$
$=2(a^{2}-2a+1)$
$=2(a-1)^{2}$

2.下列因式分解正确的是 (D)
A.$3ax^{2}-6ax= 3(ax^{2}-2ax)$
B.$x^{2}+y^{2}= (-x+y)(-x-y)$
C.$a^{2}+2ab-4b^{2}= (a+2b)^{2}$
D.$-ax^{2}+2ax-a= -a(x-1)^{2}$

答案： 解：A.$3ax^{2}-6ax= 3ax(x-2)$，故A错误；
B.$x^{2}+y^{2}$不能因式分解，故B错误；
C.$(a+2b)^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}\neq a^{2}+2ab-4b^{2}$，故C错误；
D.$-ax^{2}+2ax-a= -a(x^{2}-2x+1)= -a(x-1)^{2}$，故D正确。
结论：D

3.分解因式:
(1)$2x^{3}-18xy^{2}=$$2x(x+3y)(x-3y)$;
(2)$2x^{2}-2=$$2(x+1)(x-1)$;
(3)$4a^{2}b-4ab+b=$$b(2a-1)^{2}$;
(4)$2x^{2}-4x+2=$$2(x-1)^{2}$.

答案：
(1)解：$2x^{3}-18xy^{2}$
$=2x(x^{2}-9y^{2})$
$=2x(x+3y)(x-3y)$
(2)解：$2x^{2}-2$
$=2(x^{2}-1)$
$=2(x+1)(x-1)$
(3)解：$4a^{2}b-4ab+b$
$=b(4a^{2}-4a+1)$
$=b(2a-1)^{2}$
(4)解：$2x^{2}-4x+2$
$=2(x^{2}-2x+1)$
$=2(x-1)^{2}$

(1)若$4x^{2}+kx+25= (2x+a)^{2}$,则$k+a$的值可以是 (A)
A.$\pm 25$
B.-25
C.25
D.20
(2)已知关于$x的二次三项式x^{2}+7x+n有一个因式为(x+5)$,则$n$的值为 (C)
A.-18
B.2
C.10
D.12

答案：
(1)解：因为$4x^{2}+kx+25=(2x+a)^{2}=4x^{2}+4ax+a^{2}$，所以$a^{2}=25$，则$a = 5$或$a=-5$。
当$a = 5$时，$4a=k$，即$k=20$，此时$k + a=20 + 5=25$；
当$a=-5$时，$4a=k$，即$k=-20$，此时$k + a=-20+(-5)=-25$。
所以$k + a$的值为$\pm25$，答案选A。
(2)解：设另一个因式为$(x + m)$，则$x^{2}+7x + n=(x + m)(x + 5)=x^{2}+(m + 5)x + 5m$。
所以$\begin{cases}m + 5=7\\5m=n\end{cases}$，解得$m=2$，$n=5×2=10$，答案选C。

4.多项式$a(x^{2}-2x+1)与多项式x^{2}-1$的公因式是 (A)
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x^{2}-1$
D.$x^{2}$

答案： 解：
多项式 $a(x^2 - 2x + 1) = a(x - 1)^2$，
多项式 $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，
两多项式的公因式是 $x - 1$。
答案：A

5.若多项式$x^{2}+(k-3)xy+y^{2}$是完全平方式,则$k$的值为 (D)
A.$\pm 2$
B.4
C.2
D.5 或1

答案： 解：因为多项式$x^{2}+(k-3)xy+y^{2}$是完全平方式，
又因为$x^{2}\pm 2xy + y^{2}=(x\pm y)^{2}$，
所以$(k - 3)xy = \pm 2xy$，
则$k - 3 = \pm 2$，
当$k - 3 = 2$时，$k = 5$；
当$k - 3 = -2$时，$k = 1$。
故$k$的值为5或1。
答案：D

6.多项式$2x^{2}-3x+k$分解因式后有一个因式是$x+1$,则$k$的值为$-5$.

答案： 【解析】：
本题主要考查因式分解的知识点，特别是如何利用给定的因式来求解未知数。
题目给出多项式$2x^{2}-3x+k$分解因式后有一个因式是$x+1$，我们可以设另一个因式为$2x+b$。
因此，多项式可以表示为：
$2x^{2}-3x+k = (x+1)(2x+b)$
将右边的两个因式相乘，得到：
$2x^{2}-3x+k = 2x^{2}+(b+2)x+b$
比较两边的相应项系数，我们可以得到两个方程：
$b+2 = -3$
$k = b$
解这两个方程，我们可以得到：
$b = -5$
$k = -5$
所以，$k$的值为$-5$。
【答案】：
$-5$