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4.下列多边形具有稳定性的是 (
D
)
答案：
【解析】：本题考查了三角形的稳定性。
三角形具有稳定性，而四边形及多边形（大于等于四边）不具有稳定性。
在给定的选项中，A是六边形，B是五边形，C是四边形，它们都不具有稳定性。
而D是三角形，具有稳定性。
【答案】：D
三角形具有稳定性，而四边形及多边形（大于等于四边）不具有稳定性。
在给定的选项中，A是六边形，B是五边形，C是四边形，它们都不具有稳定性。
而D是三角形，具有稳定性。
【答案】：D
5.空调安装在墙上时,一般都会象如图所示的方法固定在墙上,这种方法应用的数学知识是
三角形的稳定性
.
答案：
【解析】：本题主要考查三角形的稳定性。
根据三角形具有稳定性可知，空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性。
【答案】：三角形的稳定性
根据三角形具有稳定性可知，空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性。
【答案】：三角形的稳定性
1. 三角形的中线:连接三角形的顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线.
画一画:画出下列三角形的中线.
注意：
(1)三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫作三角形的重心;
(2)三角形的三条中线的交点在三角形的内部;
(3)三角形的一条中线可以等分三角形的面积.
2. 三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,连接这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
画一画:画出下列三角形的内角平分线.
注意：
(1)三角形的三条角平分线相交于一点;
(2)三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部.
3. 三角形的高:从三角形的一个顶点向对边作垂线,顶点与垂足之间的连线段叫作三角形的高线,简称三角形的高.
画一画:画出下列三角形的高.
注意：
(1)三角形的三条高(或其延长线)相交于一点;
(2)锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形的三条高的交点即为直角顶点,钝角三角形的三条高的延长线的交点在三角形的外部.
注:(1)画高线时要画成线段(垂线段),并且标上垂直符号.
(2)三角形的高线、中线、角平分线都是线段,既不是射线,也不是直线.
认一认、填一填:
(1)如图1,$\triangle ABC$三条中线交于点G,则有:$BC= 2BD= 2DC$,$AE= \frac{1}{2}AC$,$AG= 2GE$;
$S_{\triangle ABD}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$,$S_{\triangle AGB}= \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$,$S_{\triangle AGE}= \frac{1}{6}S_{\triangle ABC}$.
(2)如图2,$\triangle ABC$三条角平分线交于点I,则有:$\angle BAD= \angle CAD$,$\angle ABE= \frac{1}{2}\angle ABC$,$\angle ACB= 2\angle ECB$.
(3)如图3,$\triangle ABC$三条高线交于点H,则有:$\angle HAE= \angle HBF$,$\angle HAF= \angle HCD$,$\angle HBF= \angle HAE$;$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}AD\cdot BC= \frac{1}{2}BE\cdot AC= \frac{1}{2}CF\cdot AB$.
画一画:画出下列三角形的中线.
注意：
(1)三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫作三角形的重心;
(2)三角形的三条中线的交点在三角形的内部;
(3)三角形的一条中线可以等分三角形的面积.
2. 三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,连接这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
画一画:画出下列三角形的内角平分线.
注意：
(1)三角形的三条角平分线相交于一点;
(2)三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部.
3. 三角形的高:从三角形的一个顶点向对边作垂线,顶点与垂足之间的连线段叫作三角形的高线,简称三角形的高.
画一画:画出下列三角形的高.
注意：
(1)三角形的三条高(或其延长线)相交于一点;
(2)锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形的三条高的交点即为直角顶点,钝角三角形的三条高的延长线的交点在三角形的外部.
注:(1)画高线时要画成线段(垂线段),并且标上垂直符号.
(2)三角形的高线、中线、角平分线都是线段,既不是射线,也不是直线.
认一认、填一填:
(1)如图1,$\triangle ABC$三条中线交于点G,则有:$BC= 2BD= 2DC$,$AE= \frac{1}{2}AC$,$AG= 2GE$;
$S_{\triangle ABD}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$,$S_{\triangle AGB}= \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$,$S_{\triangle AGE}= \frac{1}{6}S_{\triangle ABC}$.
(2)如图2,$\triangle ABC$三条角平分线交于点I,则有:$\angle BAD= \angle CAD$,$\angle ABE= \frac{1}{2}\angle ABC$,$\angle ACB= 2\angle ECB$.(3)如图3,$\triangle ABC$三条高线交于点H,则有:$\angle HAE= \angle HBF$,$\angle HAF= \angle HCD$,$\angle HBF= \angle HAE$;$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}AD\cdot BC= \frac{1}{2}BE\cdot AC= \frac{1}{2}CF\cdot AB$.
答案：
例1 选择题
(1)有下列说法:
①三条线段组成的图形叫作三角形;
②三角形的角平分线是射线;
③三角形的三条高所在的直线相交于一点,这一点不在三角形的内部,就在三角形的外部;
④三角形的三条中线相交于一点,且这点一定在三角形的内部.
其中正确的有 (
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(2)如图,$BA\perp AC$,$AD\perp BC$,垂足分别为点A,D.已知$AB= 3$,$AC= 4$,$BC= 5$,则点A到线段BC的距离是 (
A.2.4 B.3 C.4 D.5
(3)如图,已知BD是$\triangle ABC$的中线,$AB= 5$,$BC= 3$,$\triangle ABD和\triangle BCD$的周长的差是 (
A.2 B.3 C.6 D.不能确定
(1)有下列说法:
①三条线段组成的图形叫作三角形;
②三角形的角平分线是射线;
③三角形的三条高所在的直线相交于一点,这一点不在三角形的内部,就在三角形的外部;
④三角形的三条中线相交于一点,且这点一定在三角形的内部.
其中正确的有 (
D
)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(2)如图,$BA\perp AC$,$AD\perp BC$,垂足分别为点A,D.已知$AB= 3$,$AC= 4$,$BC= 5$,则点A到线段BC的距离是 (
A
)A.2.4 B.3 C.4 D.5
(3)如图,已知BD是$\triangle ABC$的中线,$AB= 5$,$BC= 3$,$\triangle ABD和\triangle BCD$的周长的差是 (
A
)A.2 B.3 C.6 D.不能确定
答案：
【解析】：
(1) 对于第一个说法“三条线段组成的图形叫作三角形”，根据三角形的定义，三条线段首尾顺次相接组成的图形才叫三角形，所以此说法错误。
对于第二个说法“三角形的角平分线是射线”，实际上三角形的角平分线是线段，它从三角形的一个内角平分该角，并与对边相交，所以此说法错误。
对于第三个说法“三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部”，当三角形是直角三角形时，三条高的交点是直角顶点，既不在内部也不在外部，而是在三角形上，所以此说法错误。
对于第四个说法“三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部”，这是三角形中线的一个重要性质，所以此说法正确。
综上，只有第四个说法是正确的。
(2) 对于第二个问题，已知$BA\perp AC$，$AD\perp BC$，且给出了三角形的三边长度。
根据三角形的面积公式，有$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot AD$。
代入已知的$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，可以求得$AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = 2.4$。
(3) 对于第三个问题，已知$BD$是$\triangle ABC$的中线，根据中线的性质，有$AD=DC$。
因此，$\triangle ABD$和$\triangle BCD$的周长差为$(AB + BD + AD) - (BC + CD + BD) = AB - BC = 2$。
【答案】：
(1) D
(2) A
(3) A
(1) 对于第一个说法“三条线段组成的图形叫作三角形”，根据三角形的定义，三条线段首尾顺次相接组成的图形才叫三角形，所以此说法错误。
对于第二个说法“三角形的角平分线是射线”，实际上三角形的角平分线是线段，它从三角形的一个内角平分该角，并与对边相交，所以此说法错误。
对于第三个说法“三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部”，当三角形是直角三角形时，三条高的交点是直角顶点，既不在内部也不在外部，而是在三角形上，所以此说法错误。
对于第四个说法“三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部”，这是三角形中线的一个重要性质，所以此说法正确。
综上，只有第四个说法是正确的。
(2) 对于第二个问题，已知$BA\perp AC$，$AD\perp BC$，且给出了三角形的三边长度。
根据三角形的面积公式，有$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot AD$。
代入已知的$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，可以求得$AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = 2.4$。
(3) 对于第三个问题，已知$BD$是$\triangle ABC$的中线，根据中线的性质，有$AD=DC$。
因此，$\triangle ABD$和$\triangle BCD$的周长差为$(AB + BD + AD) - (BC + CD + BD) = AB - BC = 2$。
【答案】：
(1) D
(2) A
(3) A
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