《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

例2 如图,CA= CD,∠B= ∠E,∠BCE= ∠ACD.求证:AB= DE.
分析:首先证明∠ACB= ∠DCE,这是解决问题的关键,然后运用"AAS"定理证明△ABC≌△DEC,即可解决问题.

答案： 【解析】：根据题目所给条件，我们需要证明$∠ACB= ∠DCE$，然后通过$AAS$（角-角-边）定理证明两个三角形全等，从而得出$AB=DE$。
证明$∠ACB= ∠DCE$：
由于$∠BCE= ∠ACD$，并且$∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠DCE$（因为$∠BCE$和$∠ACD$都是外部角，且相等），
所以可以得出$∠ACB= ∠DCE$。
运用$AAS$定理证明三角形全等：
在$△ABC$和$△DEC$中，
已知$∠B= ∠E$，$∠ACB= ∠DCE$，且$CA= CD$，
根据$AAS$定理，我们可以得出$△ABC≌△DEC$。
根据全等三角形的性质，对应边相等，所以$AB= DE$。
【答案】：证明：
∵$∠BCE= ∠ACD$，$∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠DCE$，
∴$∠ACB= ∠DCE$，
在$△ABC$与$△DEC$中，
$\left\{\begin{matrix}∠B= ∠E,\\∠ACB= ∠DCE,\\CA= CD.\end{matrix}\right.$
∴$△ABC≌△DEC(AAS)$，
∴$AB= DE$。

3.(2024·八中七下期中)如图,在△ABC 和△BDE 中,再添两个条件不能使△ABC 和△BDE 全等的是 (B)
A.AB= BD,AE= DC
B.AB= BD,DE= AC
C.BE= BC,∠E= ∠C
D.∠EAF= ∠CDF,DE= AC

答案： 【解析】：本题考查三角形全等的判定定理。
三角形全等的判定定理有SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边、直角边）。
A选项：$AB=BD$，$AE=DC$，由于$AE+AD=DC+AD$，可以得到$AC=BE$，再加上$\angle BDE=\angle BAC$，$\angle B=\angle B$，可以利用SAS定理证明$\triangle ABC\cong \triangle BDE$，故A选项不符合题意。
B选项：$AB=BD$，$DE=AC$，由于$\angle BDE=\angle BAC$，$\angle B=\angle B$，这里只给出了两边和一个非夹角，不能构成三角形全等的条件，故B选项符合题意。
C选项：$BE=BC$，$\angle E=\angle C$，再加上公共边$\angle B=\angle B$，可以利用ASA定理证明$\triangle ABC\cong \triangle BDE$，故C选项不符合题意。
D选项：$\angle EAF=\angle CDF$，由于$\angle EAF=\angle BDE$，$\angle CDF=\angle BAC$，可以得到$\angle BDE=\angle BAC$，再加上$DE=AC$，$\angle B=\angle B$，可以利用AAS定理证明$\triangle ABC\cong \triangle BDE$，故D选项不符合题意。
【答案】：B。

4. 如图,EF,BG,DH 都垂直于 FH,AE⊥AB 且 AE= AB,BC⊥CD 且 BC= CD,请按照图中所标注的数据,计算图中阴影部分的面积 S 是 59.

答案： 证明：
∵EF⊥FH，BG⊥FH，DH⊥FH，AE⊥AB，
∴∠EFA=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在△EFA和△AGB中，
∠EFA=∠AGB，∠FEA=∠BAG，AE=AB，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF=BG=3，AG=EF=6，
同理可证△BGC≌△CHD（AAS），
∴CG=DH=4，CH=BG=3，
∴FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，
S=梯形EFHD面积-△EFA面积-△BGC面积-△DHC面积
=1/2×(EF+DH)×FH -1/2×EF×AF -1/2×BG×CG -1/2×DH×CH
=1/2×(6+4)×16 -1/2×6×3 -1/2×3×4 -1/2×4×3
=80 -9 -6 -6=59
59

5. 如图,在△ACB 中,∠ACB= 90°,AC= BC,点 C 的坐标为(-2,0),点 A 的坐标为(-6,3),则点 B 的坐标是(1,4).

答案： 解：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E。
∵点C的坐标为(-2,0)，点A的坐标为(-6,3)，
∴OC=2，OD=6，AD=3，
∴CD=OD-OC=6-2=4。
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°。
∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE。
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB，
∠CAD=∠BCE，
AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE=3，CD=BE=4。
∵OC=2，
∴OE=CE-OC=3-2=1，
∴点B的坐标为(1,4)。
答案：(1,4)

探究3 用"ASA""AAS"证明
例3 如图,已知∠1= ∠2,∠3= ∠4,求证:ED= EC.

答案： 证明：
在△ABD和△ABC中，
∵∠1=∠2，AB=AB（公共边），∠3=∠4，
∴△ABD≌△ABC（ASA）．
∴AD=AC．
在△ADE和△ACE中，
∵AD=AC，∠1=∠2，AE=AE（公共边），
∴△ADE≌△ACE（SAS）．
∴ED=EC．

6. 如图,点 A 在 DE 上,AC= EC,∠1= ∠2= ∠3,则 DE= (A)

A.AB
B.BC
C.DC
D.AC

答案： 证明：
∵∠1=∠2，∠AFD=∠CFB（对顶角相等），
∴∠D=∠B（三角形内角和定理）。
∵∠2=∠3，
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，即∠ACB=∠ECD。
在△ABC和△EDC中，
∠B=∠D，
∠ACB=∠ECD，
AC=EC，
∴△ABC≌△EDC（AAS）。
∴DE=AB。
答案：A

7. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于点 E,AD,BE 相交于点 H,且 HD= DC= 3,AH= 1,则△ABC 的面积是 14.

答案： 证明：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDH=∠AEH=90°。
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠DAC=∠DBH。
在△ADC和△BDH中，
∠DAC=∠DBH，∠ADC=∠BDH，DC=HD，
∴△ADC≌△BDH（AAS）。
∴AD=BD。
∵AH=1，HD=3，
∴AD=AH+HD=4，
∴BD=AD=4。
∵DC=3，
∴BC=BD+DC=7。
∴S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×7×4=14。
14

三角形全等的基本事实:三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).

答案： 【解析】：本题考查三角形全等的基本事实“SSS”，即三边分别相等的两个三角形全等。题目给出了在$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup DEF$中，三边分别对应相等的情况，要求根据“SSS”判定定理得出两个三角形全等的结论。
【答案】：全等

例1 如图,在△ABC 中,$AB= AC$,D 是 BC 的中点.
求证:$△ABD\cong △ACD.$
分析:要证$△ABD\cong △ACD$,可以看这两个三角形的三条边是否相等.

注意:两个三角形的公共边是一组对应边.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定定理——“SSS”（三边全等）。题目给出了$AB=AC$，且$D$是$BC$的中点，即$BD=CD$，同时$AD$是两个三角形的公共边，由此可以利用“SSS”定理证明两个三角形全等。
【答案】：证明：
∵$D$是$BC$的中点，
∴$BD=CD$，
在$\bigtriangleup ABD$和$\bigtriangleup ACD$中，
$\left\{\begin{matrix}AB=AC,\\BD=CD,\\AD=AD.\end{matrix}\right.$
∴$\bigtriangleup ABD\cong\bigtriangleup ACD(SSS)$。