《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

1.因式分解的定义:把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
注意：
因式分解与整式乘法是方向相反的变形:整式乘法的结果是一个多项式;因式分解的结果是几个整式的乘积的形式.
2.公因式的定义:各项都含有的相同因式叫作这个多项式各项的公因式.
3.用提公因式法分解因式:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
注意：
提公因式法分解因式,其实质就是乘法分配律的逆用.

答案： 【解析】：
本题主要考察了因式分解的定义，公因式的定义以及用提公因式法分解因式的知识点。
1. 因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
2. 公因式的定义是多项式各项都含有的相同因式。
3. 用提公因式法分解因式，即将多项式各项的公因式提取出来，得到公因式与另一个因式的乘积。
【答案】：
1. 几个整式的积的形式；
2. 公因式；
3. 公因式；提公因式法。

例 1 下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是(C)
A.$a(x+y)= ax+ay$
B.$x^{2}-4x+4= x(x-4)+4$
C.$10x^{2}-5x= 5x(2x-1)$
D.$x^{2}-16+6x= (x+4)(x-4)+6x$
分析:根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,易得正确答案.

答案： 【解析】：
本题考察的是因式分解的定义和识别。
因式分解是指将一个多项式表示为几个整式的乘积。
分析选项：
A. $a(x+y)=ax+ay$，这是通过分配律将乘积展开为多项式，不属于因式分解。
B. $x^2 - 4x + 4 = x(x-4) + 4$，这里并没有将多项式完全转化为整式的乘积形式，所以B选项也不属于因式分解。
C. $10x^2 - 5x = 5x(2x - 1)$，这里成功地将多项式$10x^2 - 5x$转化为$5x$和$2x-1$两个整式的乘积，符合因式分解的定义。
D. $x^2 - 16 + 6x = (x+4)(x-4) + 6x$，这里也没有将多项式完全转化为整式的乘积形式，所以D选项不属于因式分解。
综上所述，只有C选项符合因式分解的定义。
【答案】：
C

1.下列等式由左到右的变形中,属于因式分解的是(B)
A.$(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$
B.$x^{2}-2x+1= (x-1)^{2}$
C.$2a-1= a(2-\frac {1}{a})$
D.$x^{2}+6x+8= x(x+6)+8$

答案： 【解析】：
本题考察的是因式分解的定义及识别。因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
A. 选项A表示的是差平方公式的展开，从右至左是因式分解的逆过程，即整式的乘法，所以A不是因式分解。
B. 选项B是将$x^{2}-2x+1$表示为$(x-1)^{2}$，这是完全平方公式的应用，从左至右是因式分解的过程，所以B是因式分解。
C. 选项C的右边，虽然形式上看似是几个整式的乘积，但其中的$\frac{1}{a}$并不是整式，因此C不是因式分解。
D. 选项D的右边，$x(x+6)+8$，并不是几个整式的乘积的形式，所以D不是因式分解。
综上所述，只有B选项是因式分解。
【答案】：
B

2.对于①$x-3xy= x(1-3y)$;②$(x+3)(x-1)= x^{2}+2x-3$,由左到右的变形,表述正确的是(C)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解

答案： 【解析】：
首先，我们需要明确因式分解和乘法运算的区别。因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而乘法运算则是把几个整式相乘得到一个新的多项式。
对于①$x-3xy= x(1-3y)$，左边是一个多项式，右边是将其化为两个整式$x$和$1-3y$的乘积形式，因此①是因式分解。
对于②$(x+3)(x-1)= x^{2}+2x-3$，左边是两个整式$x+3$和$x-1$的乘积，右边是它们相乘得到的多项式，因此②是乘法运算。
综上所述，①是因式分解，②是乘法运算。
【答案】：C

例 2 分解因式:
(1)$a^{2}+ab$; (2)$-x^{2}y-2xy$;
(3)$x^{2}-3x$; (4)$mx^{2}+my^{2}$;
(5)$3x^{2}-4xy^{2}+x$;
(6)$(-a^{3})^{3}-2a^{3}\cdot a^{4}+(-a^{2})$.
归纳：
(1)当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.
(2)如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.注意提出“-”

号

时

,多项式的各项都要变号.
(3)当多项式中某一项成为公因式时,提取后括号中应留下1.

答案：
(1)解：原式$=a(a + b)$
(2)解：原式$=-xy(x + 2)$
(3)解：原式$=x(x - 3)$
(4)解：原式$=m(x^{2} + y^{2})$
(5)解：原式$=x(3x - 4y^{2} + 1)$
(6)解：原式$=-a^{9} - 2a^{7} - a^{2}=-a^{2}(a^{7} + 2a^{5} + 1)$

3.分解因式:
(1)$ax-ay$; (2)$xy-y^{2}+yz$.

答案：
(1)解：$ax - ay = a(x - y)$
(2)解：$xy - y^2 + yz = y(x - y + z)$

例 3 利用因式分解计算:
(1)$234×265-234×65$; (2)$12.4×8+47.6×8$;
(3)$\frac {4}{5}×16-\frac {1}{5}×16-\frac {8}{5}×16$; (4)$999^{2}+999$.

答案：
(1)解：原式$=234×(265-65)$
$=234×200$
$=46800$
(2)解：原式$=8×(12.4+47.6)$
$=8×60$
$=480$
(3)解：原式$=16×(\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-\frac{8}{5})$
$=16×(-1)$
$=-16$
(4)解：原式$=999×(999+1)$
$=999×1000$
$=999000$