《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

例 2 计算：
(1)$(a+b+c)^{2}$；
(2)$(2a-b+3c)^{2}$；
(3)$(2x+y+z)(2x-y-z)$；
(4)$(x-2y-3z)(x+2y-3z)$.
归纳：
(1)三项式的完全平方,先把其中两项看成一个整体,使之符合完全平方公式的结构特征,再用完全平方公式计算.
(2)两个三项式相乘,如果两个三项式中,有些项相同,而剩余项互为相反数,即可用平方差公式计算.在计算时,将相同项和相反项分别结合成一个整体,使之符合平方差公式的结构特征,再用平方差公式计算.

答案：
(1)解：$(a+b+c)^{2}$
$=[(a+b)+c]^{2}$
$=(a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}+2ac+2bc+c^{2}$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$
(2)解：$(2a - b + 3c)^{2}$
$=[(2a - b)+3c]^{2}$
$=(2a - b)^{2}+2(2a - b)\cdot3c+(3c)^{2}$
$=4a^{2}-4ab + b^{2}+12ac-6bc + 9c^{2}$
$=4a^{2}+b^{2}+9c^{2}-4ab + 12ac-6bc$
(3)解：$(2x + y + z)(2x - y - z)$
$=[2x+(y + z)][2x-(y + z)]$
$=(2x)^{2}-(y + z)^{2}$
$=4x^{2}-(y^{2}+2yz + z^{2})$
$=4x^{2}-y^{2}-2yz - z^{2}$
(4)解：$(x - 2y - 3z)(x + 2y - 3z)$
$=[(x - 3z)-2y][(x - 3z)+2y]$
$=(x - 3z)^{2}-(2y)^{2}$
$=x^{2}-6xz + 9z^{2}-4y^{2}$
$=x^{2}-4y^{2}+9z^{2}-6xz$

4.计算:$(x+y-z)(x-y+z)=$$x^2-y^2+2yz-z^2$.

答案： 解：$(x+y-z)(x-y+z)$
$=[x+(y-z)][x-(y-z)]$
$=x^2-(y-z)^2$
$=x^2-(y^2-2yz+z^2)$
$=x^2-y^2+2yz-z^2$
$x^2-y^2+2yz-z^2$

5.若$(x-1)^{2}= 2$,则代数式$5-\frac {1}{2}x^{2}+x$的值为$\frac{9}{2}$.

答案： 解：由$(x - 1)^2 = 2$，展开得$x^2 - 2x + 1 = 2$，移项化简得$x^2 - 2x = 1$。
对代数式$5 - \frac{1}{2}x^2 + x$变形，提取$-\frac{1}{2}$得：
$5 - \frac{1}{2}(x^2 - 2x)$
将$x^2 - 2x = 1$代入上式，得：
$5 - \frac{1}{2}×1 = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
答案：$\frac{9}{2}$

6.若$a-b= 2,a-c= 1$,则$(2a-b-c)^{2}+(c-b)^{2}$的值是10.

答案： 解：
∵ $a - b = 2$，$a - c = 1$，
∴ $2a - b - c = (a - b) + (a - c) = 2 + 1 = 3$，
$c - b = (a - b) - (a - c) = 2 - 1 = 1$，
∴ $(2a - b - c)^2 + (c - b)^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$。
10

一、幂的运算性质
1. 同底数幂的乘法：$a^m \cdot a^n = $$a^{m+n}$.
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = $$a^{mn}$.
3. 积的乘方：$(ab)^n = $$a^n b^n$.
4. 同底数幂的除法：$a^m ÷ a^n = $$a^{m-n}(a\neq0)$.
5. 零指数次幂：$a^0(a \neq 0) = $$1$.

答案： 1. $a^{m+n}$
2. $a^{mn}$
3. $a^n b^n$
4. $a^{m-n}(a\neq0)$
5. $1$

二、整式的乘法与除法
1. 单项式与单项式的乘法运算：单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
2. 单项式与多项式的乘法运算：单项式与多项式相乘,就是用单项式乘这个多项式的每一项去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
3. 多项式与多项式的乘法运算：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
4. 同底数幂相除,底数不变,指数相减.
5. 单(多)项式除以单项式法则：
(1)单项式与单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除数里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式与单项式的除法运算：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的乘法与除法的基本法则，包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法运算，以及同底数幂的除法和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则。
1. 对于单项式与单项式的乘法运算，需要掌握系数和同底数幂的乘法规则，以及如何处理只在一个单项式中出现的字母。
2. 单项式与多项式的乘法运算则需要用单项式去乘多项式的每一项，并将所得的积相加。
3. 多项式与多项式的乘法运算，需要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
4. 同底数幂的除法则是底数不变，指数相减。
5. 单项式与单项式的除法，需要分别处理系数和同底数幂，对于只在被除数中出现的字母，要连同其指数一起作为商的一个因式。
6. 多项式除以单项式，则需要将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。
【答案】：
1. 相乘；它的指数
2. 乘这个多项式的每一项；相加
3. 每一项；每一项；相加
4. 不变；相减
5.
(1) 商的因式；被除数；指数
(2) 每一项；相加

三、乘法公式
1. 平方差公式：$(a+b)(a-b) = $$a^2 - b^2$.
2. 完全平方公式：$(a \pm b)^2 = $$a^2 \pm 2ab + b^2$.
3. 添括号的法则：添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

答案： 1. $a^2 - b^2$
2. $a^2 \pm 2ab + b^2$
3. 不变符号；改变符号

例1 计算：
(1)$a^{10} ÷ a^6$；
(2)$[(-x)^3]^2(-x^2)^3$；
(3)$(-2x^5y^2)^3$；
(4)$(a-b)^{12} ÷ (b-a)^5 ÷ (a-b) ÷ (b-a)^3$.

答案：
(1)解：$a^{10} ÷ a^6 = a^{10-6} = a^4$
(2)解：$[(-x)^3]^2(-x^2)^3 = (-x)^{6} \cdot (-x^6) = x^6 \cdot (-x^6) = -x^{12}$
(3)解：$(-2x^5y^2)^3 = (-2)^3 \cdot (x^5)^3 \cdot (y^2)^3 = -8x^{15}y^6$
(4)解：$(a-b)^{12} ÷ (b-a)^5 ÷ (a-b) ÷ (b-a)^3$
$=(a-b)^{12} ÷ [-(a-b)^5] ÷ (a-b) ÷ [-(a-b)^3]$
$=(a-b)^{12-5-1-3} = (a-b)^3$

1. 下列运算正确的是(D)
A.$a^2 + a = a^3$
B.$(a^2)^3 = a^5$
C.$a^8 ÷ a^2 = a^4$
D.$a^2 \cdot a^3 = a^5$

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的乘法及幂的运算法则。
A. 对于 $a^2 + a$，由于 $a^2$ 和 $a$ 的幂次不同，它们不是同类项，因此不能合并。所以 $a^2 + a \neq a^3$，故 A 选项错误。
B. 对于 $(a^2)^3$，根据幂的乘方法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以 $(a^2)^3 = a^{2 × 3} = a^6$，与 $a^5$ 不等，故 B 选项错误。
C. 对于 $a^8 ÷ a^2$，根据同底数幂的除法法则，$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，所以 $a^8 ÷ a^2 = a^{8-2} = a^6$，与 $a^4$ 不等，故 C 选项错误。
D. 对于 $a^2 \cdot a^3$，根据同底数幂的乘法法则，$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，所以 $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$，与 $a^5$ 相等，故 D 选项正确。
【答案】：
D

2. 若$(-5a^{m+1}b^{2n-1})(2a^nb^m) = -10a^4b^4$,则$m-n$的值为(B)
A.-3
B.-1
C.1
D.3

答案： 解：$(-5a^{m+1}b^{2n-1})(2a^nb^m)$
$=(-5×2)(a^{m+1}\cdot a^n)(b^{2n-1}\cdot b^m)$
$=-10a^{m+1+n}b^{2n-1+m}$
因为$(-5a^{m+1}b^{2n-1})(2a^nb^m) = -10a^4b^4$，所以可得：
$\begin{cases}m + 1 + n = 4 \\ m + 2n - 1 = 4\end{cases}$
由第一个方程得：$m + n = 3$ ①
由第二个方程得：$m + 2n = 5$ ②
② - ①得：$n = 2$
将$n = 2$代入①得：$m + 2 = 3$，解得$m = 1$
所以$m - n = 1 - 2 = -1$
答案：B

3. 若$m + 2n - 3 = 0$,则$3^m \cdot 9^n = $27.

答案： 解：由$m + 2n - 3 = 0$，得$m + 2n = 3$。
因为$9^n = (3^2)^n = 3^{2n}$，
所以$3^m \cdot 9^n = 3^m \cdot 3^{2n} = 3^{m + 2n} = 3^3 = 27$。
27

例2 计算：
(1)$(-2ab) \cdot 5ab \cdot \left(-\dfrac{3}{5}a^2b^2\right)$；
(2)$4t(5t^2 + 2t - 1) - 3t(13t^2 + 7t)$；
(3)$(x - 4)(x + 5)$；
(4)$(3y - x)(x + 4y)$；
(5)$\left(-\dfrac{1}{2}x^3y^4z\right) ÷ \left(-\dfrac{2}{3}x^3y^2z\right)$；
(6)$(x^5 + 3x^4 - 2x) ÷ 4x$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了整式的乘法与除法运算，包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式以及单项式除以单项式等知识点。
(1)对于$(-2ab) \cdot 5ab \cdot \left(-\dfrac{3}{5}a^2b^2\right)$，根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，字母部分遵循同底数幂相乘，底数不变，指数相加的原则。
(2)对于$4t(5t^2 + 2t - 1) - 3t(13t^2 + 7t)$，首先应用单项式乘多项式的法则，然后去括号，最后合并同类项。
(3)对于$(x - 4)(x + 5)$，应用多项式乘多项式的法则，即一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，然后合并同类项。
(4)对于$(3y - x)(x + 4y)$，同样应用多项式乘多项式的法则。
(5)对于$\left(-\dfrac{1}{2}x^3y^4z\right) ÷ \left(-\dfrac{2}{3}x^3y^2z\right)$，应用单项式除以单项式的法则，系数与系数相除，字母部分遵循同底数幂相除，底数不变，指数相减的原则。
(6)对于$(x^5 + 3x^4 - 2x) ÷ 4x$，应用多项式除以单项式的法则，即多项式的每一项分别除以单项式。
【答案】：
(1)
解：
$(-2ab) \cdot 5ab \cdot \left(-\dfrac{3}{5}a^2b^2\right)$
$= (-2 × 5 × -\dfrac{3}{5}) × (a × a × a^2) × (b × b × b^2)$
$= 6a^{4}b^{4}$
(2)
解：
$4t(5t^2 + 2t - 1) - 3t(13t^2 + 7t)$
$= 20t^3 + 8t^2 - 4t - 39t^3 - 21t^2$
$= -19t^3 - 13t^2 - 4t$
(3)
解：
$(x - 4)(x + 5)$
$= x^2 + 5x - 4x - 20$
$= x^2 + x - 20$
(4)
解：
$(3y - x)(x + 4y)$
$= 3xy + 12y^2 - x^2 - 4xy$
$= -x^2 - xy + 12y^2$
(5)
解：
$\left(-\dfrac{1}{2}x^3y^4z\right) ÷ \left(-\dfrac{2}{3}x^3y^2z\right)$
$= \left(-\dfrac{1}{2} ÷ -\dfrac{2}{3}\right) × \left(x^3 ÷ x^3\right) × \left(y^4 ÷ y^2\right) × \left(z ÷ z\right)$
$= \dfrac{3}{4}y^{2}$
(6)
解：
$(x^5 + 3x^4 - 2x) ÷ 4x$
$= \dfrac{1}{4}x^{4} + \dfrac{3}{4}x^{3} - \dfrac{1}{2}$