《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

前面我们学过平方差公式:$(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$,把等号两边互换会得到:
$a^{2}-b^{2}=$$(a+b)(a-b)$
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
像这样将乘法公式反过来用,对多项式进行因式分解的方法称为公式法.
注意：
(因式分解的)平方差公式的结构特征：
(1)左边:是一个二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反；
(2)右边:是左边两平方项底数的和与差的积；
(3)公式中的a,b可以表示数,也可以表示单项式,还可以表示多项式.
议一议：
下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
(1)$x^{2}-y^{2}$； 可以，$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$(2)$x^{2}+y^{2}$；不可以
(3)$-x^{2}-y^{2}$；不可以(4)$-x^{2}+y^{2}$；可以，$-x^{2}+y^{2}=(y+x)(y-x)$
(5)$64-a^{2}$；可以，$64-a^{2}=(8+a)(8-a)$(6)$4x^{2}-9y^{2}$；可以，$4x^{2}-9y^{2}=(2x+3y)(2x-3y)$
(7)$(x+p)^{2}-(x+q)^{2}$；可以，$(x+p)^{2}-(x+q)^{2}=(2x+p+q)(p-q)$(8)$(a+b)^{2}-1$.可以，$(a+b)^{2}-1=(a+b+1)(a+b-1)$

答案： 【解析】：
本题主要考查平方差公式的应用以及因式分解的识别。题目给出了平方差公式，并询问哪些多项式可以使用这个公式进行因式分解。
平方差公式为：$a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，其中，$a$ 和 $b$ 可以是数、单项式或多项式。
接下来，逐一分析每个多项式：
(1) $x^{2} - y^{2}$：
这是平方差公式的标准形式，其中 $a = x, b = y$，所以可以使用平方差公式分解为 $(x+y)(x-y)$。
(2) $x^{2} + y^{2}$：
这个多项式不符合平方差公式的结构特征，因为它不是两个平方项的差。
(3) $-x^{2} - y^{2}$：
这个多项式同样不符合平方差公式的结构特征，因为它也不是两个平方项的差。
(4) $-x^{2} + y^{2}$：
这个多项式可以看作是 $y^{2} - x^{2}$，符合平方差公式的结构特征，其中 $a = y, b = x$，所以可以使用平方差公式分解为 $(y+x)(y-x)$。
(5) $64 - a^{2}$：
这个多项式符合平方差公式的结构特征，其中 $a = 8, b = a$（这里的 $a$ 是公式中的 $a$，多项式的 $a$ 是公式中的 $b$），所以可以使用平方差公式分解为 $(8+a)(8-a)$。
(6) $4x^{2} - 9y^{2}$：
这个多项式符合平方差公式的结构特征，其中 $a = 2x, b = 3y$，所以可以使用平方差公式分解为 $(2x+3y)(2x-3y)$。
(7) $(x+p)^{2} - (x+q)^{2}$：
这个多项式符合平方差公式的结构特征，其中 $a = x+p, b = x+q$，所以可以使用平方差公式分解为 $[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]$，进一步化简得 $(2x+p+q)(p-q)$。
(8) $(a+b)^{2} - 1$：
这个多项式符合平方差公式的结构特征，其中 $a = a+b, b = 1$，所以可以使用平方差公式分解为 $[(a+b)+1][(a+b)-1]$，即 $(a+b+1)(a+b-1)$。
【答案】：
(1) $x^{2} - y^{2} = (x+y)(x-y)$
(2) $x^{2} + y^{2}$ 不能用平方差公式分解
(3) $-x^{2} - y^{2}$ 不能用平方差公式分解
(4) $-x^{2} + y^{2} = (y+x)(y-x)$
(5) $64 - a^{2} = (8+a)(8-a)$
(6) $4x^{2} - 9y^{2} = (2x+3y)(2x-3y)$
(7) $(x+p)^{2} - (x+q)^{2} = (2x+p+q)(p-q)$
(8) $(a+b)^{2} - 1 = (a+b+1)(a+b-1)$

例1 用平方差公式分解因式：
(1)$m^{2}-9n^{2}$； (2)$-9x^{2}+(x-y)^{2}$；
(3)$(x-2y)^{2}-4(2x-y)^{2}$；
(4)$(a+b+c+d)^{2}-(a-b+c-d)^{2}$.
注意：
牢记平方差公式的结构特征,找到公式中的a,b所表示的式子.

答案：
(1)解：原式$=m^{2}-(3n)^{2}=(m+3n)(m-3n)$
(2)解：原式$=(x-y)^{2}-(3x)^{2}=(x-y+3x)(x-y-3x)=(4x-y)(-2x-y)=-(4x-y)(2x+y)$
(3)解：原式$=(x-2y)^{2}-[2(2x-y)]^{2}=(x-2y)^{2}-(4x-2y)^{2}=[(x-2y)+(4x-2y)][(x-2y)-(4x-2y)]=(5x-4y)(-3x)=-3x(5x-4y)$
(4)解：原式$=[(a+b+c+d)+(a-b+c-d)][(a+b+c+d)-(a-b+c-d)]=(2a+2c)(2b+2d)=4(a+c)(b+d)$

1.(2022·益阳)已知m,n同时满足$2m+n= 3与2m-n= 1$,则$4m^{2}-n^{2}$的值是3.

答案： 解：由平方差公式可得$4m^{2}-n^{2}=(2m+n)(2m-n)$。
已知$2m+n=3$，$2m-n=1$，代入上式得：
$4m^{2}-n^{2}=3×1=3$。
故答案为$3$。

2.分解因式：
(1)$4a^{2}-25=$$(2a + 5)(2a - 5)$；
(2)$9x^{2}-4y^{2}=$$(3x + 2y)(3x - 2y)$；
(3)$-16b^{2}+9a^{2}=$$(3a + 4b)(3a - 4b)$.

答案：
(1)解：$(2a)^2 - 5^2 = (2a + 5)(2a - 5)$
(2)解：$(3x)^2 - (2y)^2 = (3x + 2y)(3x - 2y)$
(3)解：$9a^2 - 16b^2 = (3a)^2 - (4b)^2 = (3a + 4b)(3a - 4b)$

例2 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数".如:$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$,$20= 6^{2}-4^{2}$,因此4,12,20都是"神秘数".
(1)28和2020这两个数是"神秘数"吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2和2k$(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的"神秘数"是4的倍数吗？为什么？

答案：
(1)
解：28是“神秘数”。
设两个连续偶数为$2m+2$和$2m$（$m$为非负整数），则$(2m+2)^{2}-(2m)^{2}=28$。
$\begin{aligned}(2m+2+2m)(2m+2-2m)&=28\\(4m+2)×2&=28\\8m + 4&=28\\8m&=24\\m&=3\end{aligned}$
此时两个连续偶数为8和6，$8^{2}-6^{2}=64 - 36=28$，所以28是“神秘数”。
2020是“神秘数”。
设两个连续偶数为$2n+2$和$2n$（$n$为非负整数），则$(2n+2)^{2}-(2n)^{2}=2020$。
$\begin{aligned}(2n+2+2n)(2n+2-2n)&=2020\\(4n+2)×2&=2020\\8n + 4&=2020\\8n&=2016\\n&=252\end{aligned}$
此时两个连续偶数为506和504，$506^{2}-504^{2}=(506 - 504)(506 + 504)=2×1010=2020$，所以2020是“神秘数”。
(2)
解：是4的倍数。
$\begin{aligned}(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}&=(2k + 2 + 2k)(2k + 2 - 2k)\\&=(4k + 2)×2\\&=8k + 4\\&=4(2k + 1)\end{aligned}$
因为$k$为非负整数，所以$2k + 1$是整数，因此$4(2k + 1)$是4的倍数，即由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。

3.已知$x^{2}-y^{2}= 12$,$x+y= 3$,则$2x^{2}-2xy= $28.

答案： 解：
∵ $x^2 - y^2 = 12$，
∴ $(x + y)(x - y) = 12$，
∵ $x + y = 3$，
∴ $3(x - y) = 12$，
∴ $x - y = 4$，
联立 $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 4 \end{cases}$，解得 $x = \frac{7}{2}$，
$2x^2 - 2xy = 2x(x - y) = 2 × \frac{7}{2} × 4 = 28$。
28

4.已知$a+b= 2$,$a-b= 3$.则$a^{2}-b^{2}$的值为______6.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式的运用。
给定的两个等式为 $a+b=2$ 和 $a-b=3$，要求 $a^{2}-b^{2}$ 的值。
根据平方差公式，我们知道 $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$。
将给定的两个等式代入平方差公式中，即可求出答案。
【答案】：
解：
根据平方差公式，我们有
$a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$
代入给定的等式 $a+b=2$ 和 $a-b=3$，我们得到
$a^{2}-b^{2} = 2 × 3 = 6$
故答案为：6。

$a^{2}+2ab+b^{2}= $$(a+b)^{2}$；
$a^{2}-2ab+b^{2}= $$(a-b)^{2}$.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
注意：
(1)把形如$a^{2}+2ab+b^{2}或a^{2}-2ab+b^{2}$的多项式叫作完全平方式.
结构特点：
①项数必须是三项；
②其中有两项是两个数的平方,且它们的符号相同；
③另一项是这两个数的积的2倍.
口诀：“首”平方,“尾”平方,二倍“首”“尾”在中央.
(2)由于$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= (a\pm b)^{2}$右边是因式乘积形式,故可用来分解因式.
认一认：

答案： $(a+b)^{2}$；$(a-b)^{2}$.
(1)①三；②两个数的平方；相同；③这两个数的积的2倍.