《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

1.(2024·湖北)计算$2x\cdot 3x^{2}$的结果是 (D)
A.$5x^{2}$
B.$6x^{2}$
C.$5x^{3}$
D.$6x^{3}$

答案： 【解析】：
本题考查的是单项式乘单项式的运算法则。
根据单项式乘单项式的法则，系数与系数相乘，字母部分按照同底数幂的乘法法则进行相乘。
具体计算过程如下：
$2x \cdot 3x^{2} = (2 × 3) × (x × x^{2})$
$= 6 × x^{(1+2)}$
$= 6x^{3}$
【答案】：
D. $6x^{3}$。

2.如果单项式$-3x^{a-b}y^{2}与\frac {1}{3}x^{3}y^{a+b}$是同类项,那么这两个单项式的积是 (D)
A.$x^{6}y^{4}$
B.$-3x^{3}y^{2}$
C.$-\frac {8}{3}x^{3}y^{2}$
D.$-x^{6}y^{4}$

答案： 解：因为单项式$-3x^{a - b}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{3}y^{a + b}$是同类项，所以$\begin{cases}a - b = 3 \\ a + b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{5}{2} \\ b = -\frac{1}{2}\end{cases}$
则这两个单项式分别为$-3x^{3}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{3}y^{2}$
它们的积为：$(-3x^{3}y^{2}) × (\frac{1}{3}x^{3}y^{2}) = (-3 × \frac{1}{3}) × (x^{3} × x^{3}) × (y^{2} × y^{2}) = -1 × x^{6} × y^{4} = -x^{6}y^{4}$
答案：D

3.若$x^{3}y^{m-1}\cdot x^{m+n}\cdot y^{2n+2}= x^{9}y^{9}$,则$4m-3n= $10.

答案： 解：$x^{3}y^{m-1}\cdot x^{m+n}\cdot y^{2n+2}$
$=x^{3+m+n}y^{m-1+2n+2}$
$=x^{m+n+3}y^{m+2n+1}$
因为$x^{3}y^{m-1}\cdot x^{m+n}\cdot y^{2n+2}= x^{9}y^{9}$，所以可得方程组：
$\begin{cases}m + n + 3 = 9\\m + 2n + 1 = 9\end{cases}$
由第一个方程得：$m + n = 6$ ①
由第二个方程得：$m + 2n = 8$ ②
② - ①得：$n = 2$
将$n = 2$代入①得：$m + 2 = 6$，解得$m = 4$
所以$4m - 3n = 4×4 - 3×2 = 16 - 6 = 10$
答案：10

4.计算：
(1)$2a\cdot a^{2}=$$2a^{3}$；
(2)$2xy^{2}\cdot \frac {3}{2}xy=$$3x^{2}y^{3}$；
(3)$(-2a^{2}b^{3})(-3a)^{2}=$$-18a^{4}b^{3}$；
(4)$(-\frac {3}{2}x^{2}y)\cdot \frac {8}{3}xy^{2}z=$$-4x^{3}y^{3}z$；
(5)$(-5x^{2}y)\cdot (-2xy^{2})^{2}=$$-20x^{4}y^{5}$；
(6)$(4×10^{6})\cdot (5×10^{5})^{2}=$$1×10^{18}$.

答案：
(1)解：$2a\cdot a^{2}=2×1\cdot a^{1+2}=2a^{3}$
(2)解：$2xy^{2}\cdot \frac {3}{2}xy=(2×\frac{3}{2})\cdot x^{1+1}\cdot y^{2+1}=3x^{2}y^{3}$
(3)解：$(-2a^{2}b^{3})(-3a)^{2}=(-2a^{2}b^{3})\cdot9a^{2}=-2×9\cdot a^{2+2}\cdot b^{3}=-18a^{4}b^{3}$
(4)解：$(-\frac {3}{2}x^{2}y)\cdot \frac {8}{3}xy^{2}z=(-\frac{3}{2}×\frac{8}{3})\cdot x^{2+1}\cdot y^{1+2}\cdot z=-4x^{3}y^{3}z$
(5)解：$(-5x^{2}y)\cdot (-2xy^{2})^{2}=(-5x^{2}y)\cdot4x^{2}y^{4}=-5×4\cdot x^{2+2}\cdot y^{1+4}=-20x^{4}y^{5}$
(6)解：$(4×10^{6})\cdot (5×10^{5})^{2}=(4×10^{6})\cdot25×10^{10}=4×25×10^{6+10}=100×10^{16}=1×10^{18}$

例2 计算：
(1)$(-4xy^{3})(-\frac {1}{8}xy)-(\frac {1}{2}xy^{2})^{2}$；
(2)$-2(-a^{2}bc)^{2}\cdot \frac {1}{2}ab^{3}c^{3}-(-abc)^{2}\cdot (-abc)^{3}$；
(3)$5a^{3}b\cdot (-3b)^{2}+(-ab)\cdot (-6ab)^{2}$.
归纳：
混合运算中,先算乘方,再算乘法,最后算加减；每步运算中,要先确定符号,并遵循法则.

答案：
(1)解：原式$=(-4)×(-\frac{1}{8})x^{1+1}y^{3+1}-(\frac{1}{2})^{2}x^{2}y^{4}$
$=\frac{1}{2}x^{2}y^{4}-\frac{1}{4}x^{2}y^{4}$
$=\frac{1}{4}x^{2}y^{4}$
(2)解：原式$=-2× a^{4}b^{2}c^{2}×\frac{1}{2}ab^{3}c^{3}-a^{2}b^{2}c^{2}×(-a^{3}b^{3}c^{3})$
$=-a^{5}b^{5}c^{5}+a^{5}b^{5}c^{5}$
$=0$
(3)解：原式$=5a^{3}b×9b^{2}+(-ab)×36a^{2}b^{2}$
$=45a^{3}b^{3}-36a^{3}b^{3}$
$=9a^{3}b^{3}$

5.计算：
(1)$(-2x^{2}y)^{3}-(4x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$；
(2)$2(2a^{3})^{2}\cdot a^{3}-(-3a^{3})^{3}+(5a)^{2}\cdot a^{7}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的乘法运算，包括单项式乘单项式以及幂的运算法则。
(1) 对于第一个表达式，我们需要分别计算$(-2x^{2}y)^{3}$和$(4x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$，然后进行相减。
$(-2x^{2}y)^{3}$ 可以根据幂的运算法则展开为 $-8x^{6}y^{3}$。
$(4x^{2})^{2}\cdot (-x)^{2}\cdot (-y)^{3}$ 可以展开为 $16x^{4} \cdot x^{2} \cdot (-y^{3})$ = $-16x^{6}y^{3}$。
最后，将两部分相减，即 $-8x^{6}y^{3} - (-16x^{6}y^{3})$ = $8x^{6}y^{3}$。
(2) 对于第二个表达式，我们需要分别计算$2(2a^{3})^{2}\cdot a^{3}$，$(-3a^{3})^{3}$和$(5a)^{2}\cdot a^{7}$，然后进行加减运算。
$2(2a^{3})^{2}\cdot a^{3}$ 可以根据幂的运算法则和乘法分配律展开为 $8a^{6} \cdot a^{3}$ = $8a^{9}$。
$(-3a^{3})^{3}$ 可以展开为 $-27a^{9}$。
$(5a)^{2}\cdot a^{7}$ 可以展开为 $25a^{2} \cdot a^{7}$ = $25a^{9}$。
最后，将三部分进行加减，即 $8a^{9} - (-27a^{9}) + 25a^{9}$ = $60a^{9}$。
【答案】：
(1) 解：原式 = $(-2x^{2}y)^{3} - (4x^{2})^{2} \cdot (-x)^{2} \cdot (-y)^{3}$
= $-8x^{6}y^{3} - 16x^{6}(-y^{3})$
= $-8x^{6}y^{3} + 16x^{6}y^{3}$
= $8x^{6}y^{3}$。
(2) 解：原式 = $2(2a^{3})^{2} \cdot a^{3} - (-3a^{3})^{3} + (5a)^{2} \cdot a^{7}$
= $8a^{9} + 27a^{9} + 25a^{9}$
= $60a^{9}$。

单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
注意：
(1)单项式与多项式相乘的计算方法实际上是把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式；
(2)用单项式去乘多项式中的每一项时,不能漏乘,特别是多项式中的常数项；
(3)注意确定积的符号.

答案： 【解析】：
本题主要考察单项式与多项式相乘的法则。根据单项式与多项式相乘的定义，我们应该用单项式去乘多项式的每一项，并将得到的积相加。题目中的空白部分需要填写的是对这个法则的描述。
(1)单项式与多项式相乘，实际上是通过分配律将单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
(2)在相乘的过程中，需要注意不要漏乘多项式中的任何一项，包括常数项。
(3)相乘时，还需要注意积的符号。
【答案】：
每一项；相加

例1 计算:
(1)$(-4x^{2})(3x+1)$;
(2)$\left(\frac{2}{3}ab^{2}-2ab\right)\cdot \frac{1}{2}ab$;
(3)$(-2x^{2}yz^{3})\left(\frac{3}{2}xy^{2}-xz+\frac{1}{4}\right)$;
(4)$-\frac{3}{2}x(1-x+4x^{2}-2x^{4})$;
(5)$\left(\frac{5}{3}a^{2}b-\frac{10}{3}a^{3}b^{2}+1\right)(-0.2ab)$;
(6)$-2a^{2}\left(\frac{1}{2}ab+b^{2}\right)-5a(a^{2}b-ab^{2})$.
注意：
运用乘法分配律计算时要确定好每一项的符号；切记不要漏乘某一项；碰到小数系数要化成分数系数.

答案：
(1)解：$(-4x^{2})(3x+1)$
$=(-4x^{2})\cdot3x+(-4x^{2})\cdot1$
$=-12x^{3}-4x^{2}$
(2)解：$\left(\frac{2}{3}ab^{2}-2ab\right)\cdot \frac{1}{2}ab$
$=\frac{2}{3}ab^{2}\cdot\frac{1}{2}ab-2ab\cdot\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{3}a^{2}b^{3}-a^{2}b^{2}$
(3)解：$(-2x^{2}yz^{3})\left(\frac{3}{2}xy^{2}-xz+\frac{1}{4}\right)$
$=(-2x^{2}yz^{3})\cdot\frac{3}{2}xy^{2}+(-2x^{2}yz^{3})\cdot(-xz)+(-2x^{2}yz^{3})\cdot\frac{1}{4}$
$=-3x^{3}y^{3}z^{3}+2x^{3}yz^{4}-\frac{1}{2}x^{2}yz^{3}$
(4)解：$-\frac{3}{2}x(1-x+4x^{2}-2x^{4})$
$=-\frac{3}{2}x\cdot1+\left(-\frac{3}{2}x\right)\cdot(-x)+\left(-\frac{3}{2}x\right)\cdot4x^{2}+\left(-\frac{3}{2}x\right)\cdot(-2x^{4})$
$=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}x^{2}-6x^{3}+3x^{5}$
(5)解：$\left(\frac{5}{3}a^{2}b-\frac{10}{3}a^{3}b^{2}+1\right)(-0.2ab)$
$=\left(\frac{5}{3}a^{2}b-\frac{10}{3}a^{3}b^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{5}ab\right)$
$=\frac{5}{3}a^{2}b\cdot\left(-\frac{1}{5}ab\right)-\frac{10}{3}a^{3}b^{2}\cdot\left(-\frac{1}{5}ab\right)+1\cdot\left(-\frac{1}{5}ab\right)$
$=-\frac{1}{3}a^{3}b^{2}+\frac{2}{3}a^{4}b^{3}-\frac{1}{5}ab$
(6)解：$-2a^{2}\left(\frac{1}{2}ab+b^{2}\right)-5a(a^{2}b-ab^{2})$
$=-2a^{2}\cdot\frac{1}{2}ab-2a^{2}\cdot b^{2}-5a\cdot a^{2}b+5a\cdot ab^{2}$
$=-a^{3}b-2a^{2}b^{2}-5a^{3}b+5a^{2}b^{2}$
$=-6a^{3}b+3a^{2}b^{2}$