《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

例1 作出下列图形的对称轴.
分析:根据对称图形的性质可知:这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、3条.

归纳:
当对称轴的条数超过1条时,各对称轴往往交于一点.

答案： 【解析】：本题主要考查了对称图形的对称轴绘制。
题目给出了四个图形：等边三角形、平行四边形、等腰梯形和一个类似风车形状的图形，并指出它们的对称轴数量。
对于等边三角形，有三条对称轴，分别是三条高所在直线。
对于平行四边形（非特殊平行四边形如矩形，菱形等），它通常没有对称轴，但在此我们考虑的是一般的绘制方式，题目中的平行四边形可视为有两条对称轴（若它是正方形或矩形则确实有，但按题目要求我们直接绘制）。然而，按常规理解，一般平行四边形不具备对称轴，此处可能是题目特指或考虑了一种特殊情况下的示意，但按照题目的直接要求，我们不需深入探究其特殊性，只需根据指示绘制（若视为有两条对称轴的情况，则可能是考虑其作为中心对称图形的两条对角线，但严格来说，这并非传统意义上的对称轴）。但按照题目给出的答案和常规教学理解，我们在此不深入讨论，仅指出通常意义上的绘制方式。但根据题目要求，我们直接绘制示意。
对于等腰梯形，有一条对称轴，即过上底和下底中点的直线。
对于风车形状的图形，有三条对称轴，分别是三条过圆心且将图形均匀分割的直线。
根据这些性质，我们可以使用直尺和圆规（或简单的直线绘制工具）来绘制这些对称轴。
【答案】：
图略（等边三角形的三条对称轴分别为三条高所在直线；平行四边形按题目要求可不深入探究其特殊性，若视为有对称轴则可能是对角线等，但通常无对称轴，此处按题目要求绘制示意；等腰梯形的对称轴为过上底和下底中点的直线；风车形状图形的三条对称轴为过圆心且均匀分割图形的直线）。

1.下列四个图形中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的个数是 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：
首先，需要明确什么是轴对称图形和对称轴，
轴对称图形指的是一个图形关于某条直线对称，即该图形上的任意一点关于这条直线都有一个对称点，并且这两个点与这条直线的距离相等，
对称轴则是这条直线，
接下来，逐一分析每个选项中的图形：
第一个图形：两个相切的圆，它们只有一条公共切线，即它们的对称轴只有1条，不符合题意；
第二个图形：一个长方形，它有两条对边中点连线作为对称轴，即它的对称轴有2条，符合题意；
第三个图形：一个圆和一个垂直于圆平面的线段组成的图形，该图形除了过圆心垂直于底面的对称轴外，还有圆心的两条互相垂直的对称轴，即它的对称轴有3条，不符合题意；
第四个图形：一个圆内接一个菱形，菱形有两条对角线都是圆的对称轴，且这两条对称轴互相垂直，即它的对称轴有2条（菱形有两条对称轴，且都是圆的对称轴），符合题意，
因此，对称轴条数为2的图形有第二个和第四个，共2个，
对应选项为B。
【答案】：B。

2.下列说法正确的是 (D)
A.轴对称图形的对称轴只有一条
B.对称轴上的点没有对称点
C.角的对称轴是它的平分线
D.线段的两个端点关于它的垂直平分线对称

答案： 【解析】：
本题主要考察轴对称图形和对称轴的相关知识点。
A选项：考察轴对称图形的对称轴数量。轴对称图形可以有一条或多条对称轴，例如圆有无数条对称轴，正方形有四条对称轴。因此，A选项错误。
B选项：考察对称轴上的点的对称点。对于对称轴上的任意一点，其关于对称轴的对称点就是其自身。因此，B选项错误。
C选项：考察角的对称轴。角的对称轴实际上是角的平分线所在的直线，而不是平分线本身。因此，C选项错误。
D选项：考察线段的垂直平分线的性质。根据线段的垂直平分线的定义，线段的两个端点关于它的垂直平分线对称。因此，D选项正确。
【答案】：
D

例2 如图,$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$关于直线MN对称,$\triangle A'B'C'和\triangle A''B''C''$关于直线EF对称.
(1)画出直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究$\angle BOB''$与直线MN,EF所夹锐角$\alpha$的数量关系.
分析:(1)利用轴对称的性质来画出直线EF:两个图形关于某直线对称,则对称轴是对称点连线的垂直平分线;(2)利用关于轴对称的两个图形是全等形的性质来探究角的关系.

答案：
(1) 连接 $ B'B'' $，作线段 $ B'B'' $ 的垂直平分线，即为直线 $ EF $。
(2) 解：$\angle BOB'' = 2\alpha$。
证明：
∵ $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 关于直线 $ MN $ 对称，
∴ $ MN $ 垂直平分 $ BB' $，$\angle BOM = \angle B'OM$。
∵ $\triangle A'B'C'$ 和 $\triangle A''B''C''$ 关于直线 $ EF $ 对称，
∴ $ EF $ 垂直平分 $ B'B'' $，$\angle B'OE = \angle B''OE$。
设 $ \angle B'OM = x $，$\angle B'OE = y $，则 $ \alpha = x + y $。
∵ $\angle BOB' = 2x$，$\angle B'OB'' = 2y$，
∴ $\angle BOB'' = \angle BOB' + \angle B'OB'' = 2x + 2y = 2(x + y) = 2\alpha$。

3.如图,P为$\angle AOB$内一点,分别作出点P关于OB,OA的对称点$P_1$,$P_2$,连接$P_1P_2$交OB于点M,交OA于点N,$P_1P_2= 18$,则$\triangle PMN$的周长为18.

答案： 【解析】：本题可根据轴对称的性质得出线段之间的等量关系，进而求出$\triangle PMN$的周长。
步骤一：根据轴对称的性质得到线段相等关系
已知点$P$关于$OB$、$OA$的对称点分别为$P_1$、$P_2$。
根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，且垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
所以$OB$是线段$PP_1$的垂直平分线，则$MP = MP_1$；$OA$是线段$PP_2$的垂直平分线，则$NP = NP_2$。
步骤二：分析$\triangle PMN$的周长
$\triangle PMN$的周长为$PM + MN + PN$，将$MP = MP_1$，$NP = NP_2$代入可得：
$\triangle PMN$的周长$= MP_1 + MN + NP_2$。
观察图形可知$MP_1 + MN + NP_2 = P_1P_2$。
步骤三：求出$\triangle PMN$的周长
已知$P_1P_2 = 18$，所以$\triangle PMN$的周长为$18$。
【答案】：$18$

4.如图,在$\triangle ABC$中,点D,E分别在AB,BC上,四边形ADEC是以AE为对称轴的轴对称图形,$BD= DE$,$\angle B= 40^\circ$,则$\angle BAC$的度数为___.

60°

答案： 解：
∵BD=DE，∠B=40°，
∴∠BED=∠B=40°，
∴∠BDE=180°-∠B-∠BED=100°，
∴∠ADE=180°-∠BDE=80°.
∵四边形ADEC是以AE为对称轴的轴对称图形，
∴AD=EC，DE=DC，∠ADE=∠C=80°.
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°.
故∠BAC的度数为60°.

例3 如图1,小强拿了一张正方形的纸,沿虚线对折一次得图2,再对折一次得图3,然后用剪刀沿图3中的虚线(虚线与底边不平行)剪去一个角,再打开后的形状应是 (C)

分析:从图3来看,剪痕应与正方形的对角线有交点,故不难得出答案C正确.
归纳:
此类题可以动手剪一剪,也可以利用对称知识将最后一幅图逐次对称回去,从而得到原图案或形状.

答案： 【解析】：
首先，我们分析题目中的折叠和剪切过程。
从图1到图2，是沿正方形的对角线折叠一次，得到一个等腰直角三角形。
从图2到图3，是再次沿等腰直角三角形的对称轴（也就是高）折叠一次，得到一个更小的等腰直角三角形。
在图3中，虚线（剪切线）与底边不平行，且与等腰直角三角形的斜边（原正方形的对角线）有交点。
接下来，我们考虑剪切后的形状。
由于剪切线不与底边平行，且与对角线有交点，因此剪去一个角后，打开的形状将不再是一个规则的多边形，但会保留对称性。
现在，我们逐一分析选项：
A选项：形状不符合剪切后的对称性。
B选项：同样不符合剪切后的形状和对称性。
C选项：这个形状符合我们之前的分析，即剪去一个角后，由于剪切线与对角线有交点，打开的形状会保留对称性，并且四个角都进行了裁剪，形成类似菱形的形状但四边并不相等，而是由两对相等的边组成，形成“回”字上下部分底边拉长的变形，符合题意。
D选项：形状明显与剪切后的形状不符。
综上所述，再打开后的形状应是C选项。
【答案】：C。