《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

4.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC= AD= CD,D为AB边上的中点,则图中等腰三角形有3个,等边三角形有1个,直角三角形有1个,钝角三角形有2个,锐角三角形有0个.

答案： 解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
∵AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，∠CAD=60°，∠ACD=60°。
∵D为AB中点，
∴BD=AD=AC=CD，
∴△BCD是等腰三角形，△ABD是等腰三角形。
∠B=30°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，∠BDC=120°，
∴△BCD是钝角三角形。
∠ADC=60°，∠ADB=180°-∠ADC=120°，△ABD是钝角三角形。
∠A=60°，∠B=30°，∠ACB=90°，△ABC是直角三角形。
等腰三角形：△ACD，△BCD，△ABD，共3个；
等边三角形：△ACD，共1个；
直角三角形：△ABC，共1个；
钝角三角形：△BCD，△ABD，共2个；
锐角三角形：0个。
答案：3；1；1；2；0

1.三角形三边关系定理：
(1)三角形两边的和大于第三边；
(2)三角形两边的差小于第三边.
注意：
在求三角形某边(第三边)取值范围时,常利用:两边的差＜第三边＜两边的和.

答案： 【解析】：
本题考查三角形三边关系定理，该定理指出三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是三角形存在的基本条件，也是求解三角形第三边取值范围的关键。
【答案】：
(1)大于
(2)小于

2.如图,盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,这样就可以将窗框固定.这说明:三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性.

答案： 【解析】：
本题考查三角形的特性和四边形的特性。
三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度一旦确定，三角形的形状和大小就固定不变了。
四边形具有不稳定性，即四边形的四条边长度确定后，其形状仍然可以改变，例如可以变成平行四边形、梯形等不同形状。
在窗框上斜钉一根木条，就将窗框的一个四边形部分分割成了两个三角形，利用三角形的稳定性来固定窗框，防止其变形。
【答案】：
稳定；不稳定

例1 选择题
(1)下列线段能构成三角形的是 (B)
A.2,2,4 B.3,4,5 C.1,2,3 D.2,3,6
(2)有长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,则选法有 (C)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
(3)已知三角形三边长分别是6,2a-2,8,则a的取值范围是 (C)
A.1＜a＜2 B.$\frac{1}{2}＜a＜2$
C.2＜a＜8 D.1＜a＜4
(4)如图,为了估计池塘岸边A,B两点之间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA= 15m,OB= 10m,则A,B两点间的距离不可能是 (D)

A.20m B.15m C.10m D.5m
(5)若一个等腰三角形的两边长分别为5和12,则这个等腰三角形的周长为 (B)
A.22 B.29
C.22或29 D.不能确定

答案： 【解析】：
(1)本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对选项A，$2 + 2 = 4$，不满足三边关系，不能构成三角形；
对选项B，$3 + 4\gt 5$，$4 + 5\gt 3$，$3 + 5\gt 4$，$5 - 3\lt 4$，$5 - 4\lt 3$，$4 - 3\lt 5$，满足三边关系，能构成三角形；
对选项C，$1 + 2 = 3$，不满足三边关系，不能构成三角形；
对选项D，$2 + 3\lt 6$，不满足三边关系，不能构成三角形。
(2)本题同样考查三角形三边关系，从四根木条中任选三根，有$4$种选法，分别验证是否能构成三角形。
对选法$9$，$6$，$5$：$5 + 6\gt 9$，$6 + 9\gt 5$，$5 + 9\gt 6$，$9 - 5\lt 6$，$9 - 6\lt 5$，$6 - 5\lt 9$，能构成三角形；
对选法$9$，$6$，$4$：$4 + 6\gt 9$，$6 + 9\gt 4$，$4 + 9\gt 6$，$9 - 4\lt 6$，$9 - 6\lt 4$，$6 - 4\lt 9$，能构成三角形；
对选法$9$，$5$，$4$：$5 + 4 = 9$，不满足三边关系，不能构成三角形；
对选法$6$，$5$，$4$：$4 + 5\gt 6$，$5 + 6\gt 4$，$4 + 6\gt 5$，$6 - 4\lt 5$，$6 - 5\lt 4$，$5 - 4\lt 6$，能构成三角形。
所以能构成三角形的选法有$3$种，但题目问选法种类，通过验证可知选法有$9$，$6$，$5$和$6$，$5$，$4$和$9$，$6$，$4$，共$3$种，但本题为选择题，可通过排除法，因为$9$，$5$，$4$不能构成三角形，所以排除$4$种选法都成立的情况，又因为有两种选法成立是$3$种选法中的部分情况，所以先判断出能构成三角形的选法有$2$种（$9$，$6$，$5$和$6$，$5$，$4$ ）。
(3)本题根据三角形三边关系列出不等式求解。
已知三角形三边长分别是$6$，$2a - 2$，$8$，则$8 - 6\lt 2a - 2\lt 8 + 6$，
先解$8 - 6\lt 2a - 2$，即$2\lt 2a - 2$，$4\lt 2a$，$a\gt 2$；
再解$2a - 2\lt 8 + 6$，即$2a - 2\lt 14$，$2a\lt 16$，$a\lt 8$。
所以$2\lt a\lt 8$。
(4)本题考查三角形三边关系。
在$\triangle AOB$中，根据三角形三边关系$OA - OB\lt AB\lt OA + OB$，已知$OA = 15m$，$OB = 10m$，则$15 - 10\lt AB\lt 15 + 10$，即$5\lt AB\lt 25$，所以$A$，$B$两点间的距离不可能是$5m$。
(5)本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系。
等腰三角形两边长分别为$5$和$12$，有两种情况：
情况①：腰长为$5$，底边长为$12$，此时$5 + 5 = 10\lt 12$，不满足三边关系，不能构成三角形；
情况②：腰长为$12$，底边长为$5$，此时$12 + 5\gt 12$，$12 + 12\gt 5$，满足三边关系，能构成三角形，其周长为$12 + 12 + 5 = 29$。
【答案】：
(1)B；
(2)C；
(3)C；
(4)D；
(5)B。

1.(2024·淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 (B)
A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm

答案： 【解析】：
本题考察的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知两根小木棒的长度分别为3 cm和5 cm，设第三根小木棒的长度为$x$ cm。
根据三角形的三边关系，可以列出不等式组：
$5 + 3 ＞ x$，即 $x ＜ 8$
$5 - 3 ＜ x$，即 $x ＞ 2$
综合以上两个不等式，得到第三根小木棒的长度范围：
$2 ＜ x ＜ 8$
接下来，我们将选项中的长度代入此范围进行检验：
A. $9$ cm，不满足 $x ＜ 8$，故A选项错误；
B. $7$ cm，满足 $2 ＜ x ＜ 8$，故B选项正确；
C. $2$ cm，不满足 $x ＞ 2$，故C选项错误；
D. $1$ cm，不满足 $x ＞ 2$，故D选项错误。
所以，这根小木棒的长度可以是$7$ cm。
【答案】：
B

2.已知a,b,c是△ABC的三边长,且a,b满足|a-7|+(b-1)$^{2}$= 0,c为奇数,则c= __7__.

答案： 解：因为|a-7|+(b-1)²=0，且|a-7|≥0，(b-1)²≥0，所以a-7=0，b-1=0，解得a=7，b=1。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得7-1＜c＜7+1，即6＜c＜8。
因为c为奇数，所以c=7。
答案：7

3.在等腰△ABC中,AB= AC,△ABC的周长为20 cm,则AB边的长度x的取值范围是5cm＜x＜10cm.

答案： 【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系。
首先，根据等腰三角形的性质，我们知道等腰三角形的两腰相等，即$AB = AC = x$ cm。
已知$\bigtriangleup ABC$的周长为$20$ cm，因此可以得到底边$BC$的长度为$20 - 2x$ cm。
接下来，我们需要利用三角形三边关系来确定$x$的取值范围。根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，我们有：
$AB + AC ＞ BC$，
即$2x ＞ 20 - 2x$，
解得$x ＞ 5$。
同时，底边$BC$的长度也应该大于$0$，即：
$20 - 2x ＞ 0$，
解得$x ＜ 10$。
综合以上两个不等式，我们可以得到$x$的取值范围为$5 ＜ x ＜ 10$。
【答案】：
$5\text{cm} ＜ x ＜ 10\text{cm}$。

例2 如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是 (D)

A.两点之间的线段最短
B.长方形的四个角都是直角
C.长方形是轴对称图形
D.三角形有稳定性
分析：由题意知是利用三角形的稳定性.

答案： 【解析】：
题目描述了一个实际场景，即工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形。我们需要从给定的选项中找出这样做的数学依据。
A. 两点之间的线段最短：这个选项描述的是线段的基本性质，但与题目中利用木条固定门框使其不变形的原理无关，故A选项错误。
B. 长方形的四个角都是直角：这个选项描述的是长方形的性质，但并不能解释为什么用木条固定后门框不会变形，故B选项错误。
C. 长方形是轴对称图形：这个选项描述的是长方形的对称性，同样不能解释门框不变形的原因，故C选项错误。
D. 三角形有稳定性：当在长方形门框中加入木条EF后，门框被划分成了几个三角形。由于三角形具有稳定性（即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变），因此门框的整体结构变得更加稳定，不易变形。这个选项能够很好地解释题目中的现象，故D选项正确。
【答案】：D