《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

1.试一试,你能对下列多项式分解因式吗? 如果能,将结果填在右边的横线上.
(1)$a^{3}-9a=$$a(a + 3)(a - 3)$;
(2)$2a^{2}-2=$$2(a + 1)(a - 1)$;
(3)$2mx^{2}-8my^{2}=$$2m(x + 2y)(x - 2y)$;
(4)$2x^{2}+8x+8=$$2(x + 2)^2$;
(5)$a+2ab+ab^{2}=$$a(b + 1)^2$.

答案：
(1)解：$a(a^2 - 9) = a(a + 3)(a - 3)$
(2)解：$2(a^2 - 1) = 2(a + 1)(a - 1)$
(3)解：$2m(x^2 - 4y^2) = 2m(x + 2y)(x - 2y)$
(4)解：$2(x^2 + 4x + 4) = 2(x + 2)^2$
(5)解：$a(1 + 2b + b^2) = a(b + 1)^2$

2.对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运用公式法,有时还需要综合运用提公因式法和公式法.

答案： 多次；提公因式；公式

例1 把下列各式分解因式:
(1)$a^{3}b-ab$; (2)$a^{2}(m-n)+b^{2}(n-m)$;
(3)$16a^{4}-b^{4}$; (4)$a^{2}(b-1)-(b-1)$.
归纳：
因式分解的步骤：
(1)有公因式,先提公因式,简称“一提”;
(2)提取公因式后,再用公式法分解因式,简称“二用”;
(3)检查是否还能继续分解,直到不能再分解为止,简称“三查”.

答案： 【解析】：
本题主要考查了因式分解的步骤和公式法的应用。
首先，我们需要观察每个式子，看是否有公因式可以提取，如果有，就先提取公因式。
然后，我们观察提取公因式后的式子，看是否可以用公式法继续分解。
最后，我们需要检查分解后的式子是否还能继续分解，直到不能再分解为止。
(1) 对于 $a^{3}b - ab$，
首先提取公因式 $ab$，得到 $ab(a^{2} - 1)$，
然后利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，
将 $a^{2} - 1$ 分解为 $(a + 1)(a - 1)$，
所以，$a^{3}b - ab = ab(a + 1)(a - 1)$。
(2) 对于 $a^{2}(m-n) + b^{2}(n-m)$，
首先变形为 $a^{2}(m-n) - b^{2}(m-n)$，
然后提取公因式 $(m-n)$，得到 $(m-n)(a^{2} - b^{2})$，
再利用平方差公式，将 $a^{2} - b^{2}$ 分解为 $(a + b)(a - b)$，
所以，$a^{2}(m-n) + b^{2}(n-m) = (m-n)(a + b)(a - b)$。
(3) 对于 $16a^{4} - b^{4}$，
直接利用平方差公式，得到 $(4a^{2})^{2} - (b^{2})^{2}$，
分解为 $(4a^{2} + b^{2})(4a^{2} - b^{2})$，
再观察 $4a^{2} - b^{2}$，还可以继续利用平方差公式分解为 $(2a + b)(2a - b)$，
所以，$16a^{4} - b^{4} = (4a^{2} + b^{2})(2a + b)(2a - b)$。
(4) 对于 $a^{2}(b-1) - (b-1)$，
首先提取公因式 $(b-1)$，得到 $(b-1)(a^{2} - 1)$，
再利用平方差公式，将 $a^{2} - 1$ 分解为 $(a + 1)(a - 1)$，
所以，$a^{2}(b-1) - (b-1) = (b-1)(a + 1)(a - 1)$。
【答案】：
(1) $a^{3}b - ab = ab(a + 1)(a - 1)$；
(2) $a^{2}(m-n) + b^{2}(n-m) = (m-n)(a + b)(a - b)$；
(3) $16a^{4} - b^{4} = (4a^{2} + b^{2})(2a + b)(2a - b)$；
(4) $a^{2}(b-1) - (b-1) = (b-1)(a + 1)(a - 1)$。

1.分解因式:
(1)$a^{4}-a^{2}=$$a^{2}(a+1)(a-1)$;
(2)$3x^{2}-12=$$3(x+2)(x-2)$;
(3)$x^{2}y-4y=$$y(x+2)(x-2)$;
(4)$x^{4}-16=$$(x^{2}+4)(x+2)(x-2)$.

答案：
(1)解：$a^{4}-a^{2}$
$=a^{2}(a^{2}-1)$
$=a^{2}(a+1)(a-1)$
(2)解：$3x^{2}-12$
$=3(x^{2}-4)$
$=3(x+2)(x-2)$
(3)解：$x^{2}y-4y$
$=y(x^{2}-4)$
$=y(x+2)(x-2)$
(4)解：$x^{4}-16$
$=(x^{2})^{2}-4^{2}$
$=(x^{2}+4)(x^{2}-4)$
$=(x^{2}+4)(x+2)(x-2)$

例2 把下列各式分解因式:
(1)$3ax^{2}+6axy+3ay^{2}$; (2)$16a^{4}-8a^{2}b^{2}+b^{4}$;
(3)$(x^{2}+3x)^{2}-(x-1)^{2}$; (4)$(a+b)^{2}-4ab$;
(5)$(p-1)(p-4)+p$.
归纳：
若多项式有公因式,先提公因式;若既不能提公因式,又不能用公式分解因式的,就去括号化简多项式,然后判断怎样分解.

答案：
(1)解：$3ax^{2}+6axy+3ay^{2}$
$=3a(x^{2}+2xy+y^{2})$
$=3a(x+y)^{2}$
(2)解：$16a^{4}-8a^{2}b^{2}+b^{4}$
$=(4a^{2})^{2}-2×4a^{2}× b^{2}+(b^{2})^{2}$
$=(4a^{2}-b^{2})^{2}$
$=(2a+b)^{2}(2a-b)^{2}$
(3)解：$(x^{2}+3x)^{2}-(x-1)^{2}$
$=[(x^{2}+3x)+(x-1)][(x^{2}+3x)-(x-1)]$
$=(x^{2}+4x-1)(x^{2}+2x+1)$
$=(x^{2}+4x-1)(x+1)^{2}$
(4)解：$(a+b)^{2}-4ab$
$=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab$
$=a^{2}-2ab+b^{2}$
$=(a-b)^{2}$
(5)解：$(p-1)(p-4)+p$
$=p^{2}-5p+4+p$
$=p^{2}-4p+4$
$=(p-2)^{2}$

2.分解因式:
(1)$3ma^{2}-6mab+3mb^{2}=$$3m(a-b)^{2}$;
(2)$a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}=$$a(a+b)^{2}$;
(3)$-a^{3}+2a^{2}-a=$$-a(a-1)^{2}$.

答案：
(1)解：$3ma^{2}-6mab+3mb^{2}$
$=3m(a^{2}-2ab+b^{2})$
$=3m(a-b)^{2}$
(2)解：$a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}$
$=a(a^{2}+2ab+b^{2})$
$=a(a+b)^{2}$
(3)解：$-a^{3}+2a^{2}-a$
$=-a(a^{2}-2a+1)$
$=-a(a-1)^{2}$