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1.如图,在△ABC中,∠A= 36°,AB= AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE= BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°。
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形（AD=BD）。
在△BCD中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠C，
∴△BCD是等腰三角形（BD=BC）。
∵BE=BC，BD=BC，
∴BE=BD，
∴△BDE是等腰三角形（BE=BD）。
∠AED=180°-∠BED=180°-72°=108°，∠ADE=180°-∠A-∠AED=36°=∠A，
∴△AED是等腰三角形（AE=DE）。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△BCD、△BDE、△AED，共5个。
答案：D
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°。
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形（AD=BD）。
在△BCD中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠C，
∴△BCD是等腰三角形（BD=BC）。
∵BE=BC，BD=BC，
∴BE=BD，
∴△BDE是等腰三角形（BE=BD）。
∠AED=180°-∠BED=180°-72°=108°，∠ADE=180°-∠A-∠AED=36°=∠A，
∴△AED是等腰三角形（AE=DE）。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△BCD、△BDE、△AED，共5个。
答案：D
2.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作MN//BC交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN= 9,则线段MN的长为 (
A.6
B.7
C.8
D.9
D
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案：
【解析】：本题可根据角平分线的性质和平行线的性质，得出等腰三角形，进而将线段$BM$、$CN$与$MN$进行转化，从而求出$MN$的长度。
步骤一：根据角平分线的性质和平行线的性质得到等腰三角形
已知$BE$平分$\angle ABC$，根据角平分线的定义可知$\angle MBE = \angle EBC$。
因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle MEB = \angle EBC$。
所以$\angle MBE = \angle MEB$，根据等角对等边，可知$BM = ME$。
同理，因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle NCE = \angle ECB$。
又因为$MN// BC$，所以$\angle NEC = \angle ECB$。
则$\angle NCE = \angle NEC$，根据等角对等边，可得$CN = EN$。
步骤二：将线段$MN$进行转化
因为$MN = ME + EN$，且$BM = ME$，$CN = EN$，所以$MN = BM + CN$。
步骤三：求出$MN$的长度
已知$BM + CN = 9$，由$MN = BM + CN$，可得$MN = 9$。
【答案】：D
步骤一：根据角平分线的性质和平行线的性质得到等腰三角形
已知$BE$平分$\angle ABC$，根据角平分线的定义可知$\angle MBE = \angle EBC$。
因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle MEB = \angle EBC$。
所以$\angle MBE = \angle MEB$，根据等角对等边，可知$BM = ME$。
同理，因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle NCE = \angle ECB$。
又因为$MN// BC$，所以$\angle NEC = \angle ECB$。
则$\angle NCE = \angle NEC$，根据等角对等边，可得$CN = EN$。
步骤二：将线段$MN$进行转化
因为$MN = ME + EN$，且$BM = ME$，$CN = EN$，所以$MN = BM + CN$。
步骤三：求出$MN$的长度
已知$BM + CN = 9$，由$MN = BM + CN$，可得$MN = 9$。
【答案】：D
例2 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h,求作这个等腰三角形.______
注意:尺规作图要保留作图痕迹.
注意:尺规作图要保留作图痕迹.
答案：
【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质以及尺规作图的方法。
等腰三角形的一个重要性质是底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合（三线合一）。
已知底边长为$a$，底边上的高为$h$，我们可以先作出底边$AB = a$，然后作底边$AB$的垂直平分线，在垂直平分线上截取$AD = h$（$D$为底边$AB$中点），连接$AD$、$BD$，$\triangle ABD$和$\triangle ACD$（$C$为$AB$垂直平分线与$AB$上方交点）就是所求作的等腰三角形。
【答案】：
作法：
（1）作线段$AB = a$；
（2）作线段$AB$的垂直平分线$MN$，交$AB$于点$D$；
（3）在$MN$上截取$AD = h$；
（4）连接$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$就是所求作的等腰三角形。
图略。
本题主要考查等腰三角形的性质以及尺规作图的方法。
等腰三角形的一个重要性质是底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合（三线合一）。
已知底边长为$a$，底边上的高为$h$，我们可以先作出底边$AB = a$，然后作底边$AB$的垂直平分线，在垂直平分线上截取$AD = h$（$D$为底边$AB$中点），连接$AD$、$BD$，$\triangle ABD$和$\triangle ACD$（$C$为$AB$垂直平分线与$AB$上方交点）就是所求作的等腰三角形。
【答案】：
作法：
（1）作线段$AB = a$；
（2）作线段$AB$的垂直平分线$MN$，交$AB$于点$D$；
（3）在$MN$上截取$AD = h$；
（4）连接$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$就是所求作的等腰三角形。
图略。
3.等腰三角形的一个内角为锐角α,腰为a,求作这个等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
答案：
【解析】：本题主要考查等腰三角形的性质及基本作图能力。题目给出了等腰三角形的一个内角为锐角$\alpha$和腰长为$a$，要求作出这个等腰三角形。在作图时，我们需要利用等腰三角形的性质，即两腰相等，以及给定的角度和腰长来确定三角形的形状。由于题目没有要求写出具体的作法步骤，我们只需保留作图痕迹即可。
【答案】：解：图略。
【答案】：解：图略。
例3 如图,在△ABC中,AB= AC,D,E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线交于点F.若DE= EF,求证:BD= CF.
分析:BD,CF不在同一个三角形中,故要过点D作GD//AF交BC于点G,证明△DGE≌△FCE,得出GD= CF,再证明BD= GD,通过等量代换得到BD= CF.
思考:你能找到与分析中不同的证明方法吗?试一试.
分析:BD,CF不在同一个三角形中,故要过点D作GD//AF交BC于点G,证明△DGE≌△FCE,得出GD= CF,再证明BD= GD,通过等量代换得到BD= CF.
思考:你能找到与分析中不同的证明方法吗?试一试.
答案：
证明：过点F作FG//AB交BC的延长线于点G。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵FG//AB，
∴∠G=∠B，∠FGC=∠ACB。
∵∠ACB=∠FCG，
∴∠FGC=∠FCG，
∴FG=CF。
在△BDE和△GFE中，
∠B=∠G，
∠BED=∠GEF，
DE=FE，
∴△BDE≌△GFE(AAS)。
∴BD=FG，
∴BD=CF。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵FG//AB，
∴∠G=∠B，∠FGC=∠ACB。
∵∠ACB=∠FCG，
∴∠FGC=∠FCG，
∴FG=CF。
在△BDE和△GFE中，
∠B=∠G，
∠BED=∠GEF，
DE=FE，
∴△BDE≌△GFE(AAS)。
∴BD=FG，
∴BD=CF。
4.如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF,给出以下五个结论:①AE= CF;②∠APE= ∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形;④EF= AP;⑤S四边形AEPF= 1/2S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与点A,B重合),上述结论中始终正确的是 (
A.①②③⑤
B.①②④⑤
C.②④③⑤
D.①②③④
A
)A.①②③⑤
B.①②④⑤
C.②④③⑤
D.①②③④
答案：
证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=∠B=∠C=45°，AP⊥BC。
①
∵∠EPF=90°，∠APC=90°，
∴∠APE=∠CPF（同角的余角相等）。
在△APE和△CPF中，
∠PAE=∠PCF=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF。
② 由①中推理知∠APE=∠CPF。
③
∵△APE≌△CPF，
∴PE=PF。
又∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形。
④ 当E、F分别为AB、AC中点时，EF=1/2BC，AP=1/2BC，此时EF=AP；
当E、F移动时，EF长度变化（如E靠近A，F靠近C，EF＞AP），故EF=AP不始终成立。
⑤
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF。
∴S四边形AEPF=S△APC=1/2S△ABC。
综上，始终正确的是①②③⑤。
答案：A
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=BP=CP，∠BAP=∠CAP=∠B=∠C=45°，AP⊥BC。
①
∵∠EPF=90°，∠APC=90°，
∴∠APE=∠CPF（同角的余角相等）。
在△APE和△CPF中，
∠PAE=∠PCF=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF。
② 由①中推理知∠APE=∠CPF。
③
∵△APE≌△CPF，
∴PE=PF。
又∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形。
④ 当E、F分别为AB、AC中点时，EF=1/2BC，AP=1/2BC，此时EF=AP；
当E、F移动时，EF长度变化（如E靠近A，F靠近C，EF＞AP），故EF=AP不始终成立。
⑤
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF。
∴S四边形AEPF=S△APC=1/2S△ABC。
综上，始终正确的是①②③⑤。
答案：A
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