《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

3.已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为$80^{\circ}$或$50^{\circ}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角与内角的关系。
首先，等腰三角形的一个外角为$130^{\circ}$，根据外角与相邻内角互补的性质，我们可以求出与这个外角相邻的内角为$180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$。
接下来，我们分两种情况讨论：
1. 如果这个$50^{\circ}$的内角是等腰三角形的底角，那么由于等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是$50^{\circ}$。根据三角形内角和为$180^{\circ}$的性质，我们可以求出顶角为$180^{\circ} - 50^{\circ} × 2 = 80^{\circ}$。
2. 如果这个$50^{\circ}$的内角就是等腰三角形的顶角，那么顶角就是$50^{\circ}$。
综合以上两种情况，等腰三角形的顶角度数可以是$80^{\circ}$或$50^{\circ}$。
【答案】：
$80^{\circ}$或$50^{\circ}$。

例2 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.

答案： 解：设等腰三角形的腰长为$x$cm，底边长为$y$cm，腰上的中线长为$d$cm（$d$不影响周长计算）。
情况一：$\begin{cases}x + \dfrac{x}{2} = 9 \\ \dfrac{x}{2} + y = 15\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 12\end{cases}$
此时三边长为6cm，6cm，12cm，因为$6 + 6 = 12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
情况二：$\begin{cases}x + \dfrac{x}{2} = 15 \\ \dfrac{x}{2} + y = 9\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 10 \\ y = 4\end{cases}$
此时三边长为10cm，10cm，4cm，因为$10 + 4 ＞ 10$，$10 + 10 ＞ 4$，满足三角形三边关系。
答：这个三角形的腰长为10cm，底边长为4cm。

4.(2022·岳阳)如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC于点D,若BC= 6,则CD= 3.

答案： 解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
∵AD⊥BC，
∴AD是△ABC底边BC上的高。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是底边BC上的中线。
∴BD=CD。
∵BC=6，
∴CD=BC÷2=6÷2=3。
故答案为：3。

5.(2022·广安)若$(a-3)^2+√(b-5)= 0,$则以a,b为边长的等腰三角形的周长为11或13.

答案： 解：因为$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 5} = 0$，且$(a - 3)^2 \geq 0$，$\sqrt{b - 5} \geq 0$，所以$a - 3 = 0$，$b - 5 = 0$，解得$a = 3$，$b = 5$。
情况一：当等腰三角形的腰长为$3$，底边长为$5$时，$3 + 3 ＞ 5$，能组成三角形，周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
情况二：当等腰三角形的腰长为$5$，底边长为$3$时，$5 + 3 ＞ 5$，能组成三角形，周长为$5 + 5 + 3 = 13$。
综上，该等腰三角形的周长为$11$或$13$。

例3 如图,在四边形ABCD中,AB//DC,E是CD的中点,AE= BE.求证:∠D= ∠C.
分析:由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA= ∠CEB,由“SAS”证明△ADE≌△BCE,即可得出结论.

答案： 【解析】：本题可根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定定理和性质来证明$\angle D = \angle C$。
首先，因为$AE = BE$，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得$\angle EAB = \angle EBA$。
又因为$AB// DC$，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，可知$\angle DEA = \angle EAB$，$\angle CEB = \angle EBA$。
由上述两个结论可推出$\angle DEA = \angle CEB$。
已知$E$是$CD$的中点，所以$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BCE$中，$AE = BE$，$\angle DEA = \angle CEB$，$DE = CE$，满足全等三角形判定定理“$SAS$”，所以$\triangle ADE\cong\triangle BCE$。
最后，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”，可得$\angle D = \angle C$。
【答案】：证明：
∵$AE = BE$，
∴$\angle EAB = \angle EBA$（等边对等角）。
∵$AB// DC$，
∴$\angle DEA = \angle EAB$，$\angle CEB = \angle EBA$（两直线平行，内错角相等）。
∴$\angle DEA = \angle CEB$。
∵$E$是$CD$的中点，
∴$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases}AE = BE\\\angle DEA = \angle CEB\\DE = CE\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle BCE(SAS)$。
∴$\angle D = \angle C$（全等三角形的对应角相等）。

6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB= AD,∠1= ∠2,BE与AD的延长线交于点E,连接EC.过点A作AF⊥EC于点F,交BC于点G.有下列结论:①∠AEB= ∠ACB;②BE= CD;③S△AGC= (AG·EF)/2;④∠2= 2∠3.其中正确的有______.(填序号)

②

答案： 证明：
①设∠1=∠BAD=α，则∠BAC=2α，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=(180°-α)/2=90°-α/2，
∵∠1=∠2=α，
∴∠DBC=∠ABD-∠2=90°-α/2-α=90°-3α/2，∠ABC=∠ABD=90°-α/2，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-(90°-α/2)=90°-3α/2，∠AEB=180°-∠2-∠BDE，∠BDE=∠ADB=90°-α/2，
∴∠AEB=180°-α-(90°-α/2)=90°-α/2，
∵∠ACB=90°-3α/2≠∠AEB，故①错误。
②在△ABE和△ADC中，∠1=∠CAD=α，AB=AD，∠ABE=∠ADC=90°-α/2，
∴△ABE≌△ADC(ASA)，
∴BE=CD，故②正确。
③
∵△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
∵AF⊥EC，
∴EF=FC，S△AGC=S△AGF+S△FGC=1/2AG·EF+1/2AG·FC=1/2AG·(EF+FC)=1/2AG·EC≠1/2AG·EF，故③错误。
④
∵AE=AC，AF⊥EC，
∴∠3=∠EAF，∠EAC=∠EAD+∠DAC=∠EAD+α，AE=AC，∠AEC=∠ACE=(180°-∠EAC)/2，∠AEB=90°-α/2，∠BEC=∠AEB-∠AEC=90°-α/2-(180°-∠EAC)/2=∠EAC/2-α/2=(∠EAD+α)/2-α/2=∠EAD/2，
∵∠3=∠EAF=∠EAD/2，
∴∠BEC=∠3，∠2=α，∠BEC=∠3，无法得出∠2=2∠3，故④错误。
正确的有②。
答案：②

找一找,认一认:
根据图示,请找出下面两幅图中的等腰三角形.


图1中,$\bigtriangleup ABC$，$\bigtriangleup ABD$，$\bigtriangleup ACD$;
图2中,$\bigtriangleup ABD$，$\bigtriangleup ABC$.

答案： 【解析】：
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等，已知图1中$\angle B=\angle C=36^\circ$，图2中$\angle B=45^\circ$，根据三角形内角和为$180^\circ$以及直角三角形两锐角互余可求出两幅图中另外的角，再根据等腰三角形的判定条件（等角对等边）找出等腰三角形。
图1中，已知$\angle B=\angle C=36^\circ$，根据等腰三角形的性质，$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形；
$\angle ADB=180^\circ-\angle B-\angle BAD=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ$，
$\angle CAD=180^\circ-\angle C-\angle ADC=180^\circ-36^\circ-108^\circ=36^\circ$，
$\angle BAD=\angle CAD=36^\circ$，即$AD$是$\angle BAC$的角平分线，
根据等腰三角形三线合一，$AD$是$BC$边上的中线，$AD$也是$BC$边上的高，
$\angle ADC=180^\circ-\angle CAD-\angle C=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ$，$\angle BAD=\angle B=36^\circ$，所以$\bigtriangleup ABD$是等腰三角形；
$\angle DAC=\angle C=36^\circ$，所以$\bigtriangleup ACD$是等腰三角形。
图2中，$\angle B=45^\circ$，$\angle ADB=90^\circ$，所以$\angle BAD=45^\circ$，$\angle B=\angle BAD$，所以$\bigtriangleup ABD$是等腰三角形；
$\angle C=180^\circ-\angle B-\angle BAC=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ$，$\angle B=\angle C$，所以$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
【答案】：
图1中，$\bigtriangleup ABC$，$\bigtriangleup ABD$，$\bigtriangleup ACD$；
图2中，$\bigtriangleup ABD$，$\bigtriangleup ABC$。

例1 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
分析:对于文字命题的证明,要先画出图形,再按图形写出已知(条件转化为已知)、求证(结论转化为求证),最后证明.
归纳:
证明文字命题的一般步骤:
(1)分清命题的条件和结论;
(2)根据题意画出正确图形;
(3)结合图形写出"已知""求证";
(4)分析题意,探索证题思路;
(5)依据思路写出证明过程.

答案： 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，且AD//BC。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明：
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD=∠DAE。
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠C，∠DAE=∠B。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
∴△ABC是等腰三角形。