《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

例1 如图,在△ABC中,已知D是BC的中点,DF⊥AB,DE⊥AC,DF= DE.求证:AB= AC.
分析:直接证△ADB≌△ADC缺少条件,但可用“HL”证Rt△ADF≌Rt△ADE,Rt△DFB≌Rt△DEC,从而得AF= AE,FB= EC.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件，利用“HL”定理证明两个直角三角形全等，进而得到对应边相等，再结合线段的和差关系证明$AB = AC$。
首先，因为$DF\perp AB$，$DE\perp AC$，所以$\triangle ADF$和$\triangle ADE$是直角三角形。
已知$D$是$BC$中点，则$BD = DC$，又已知$DF = DE$。
在$Rt\triangle ADF$和$Rt\triangle ADE$中，$AD$为公共边，根据“HL”定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$Rt\triangle ADF\cong Rt\triangle ADE$，所以$AF = AE$。
同理，在$Rt\triangle DFB$和$Rt\triangle DEC$中，$BD = DC$，$DF = DE$，根据“HL”定理可得$Rt\triangle DFB\cong Rt\triangle DEC$，所以$FB = EC$。
最后，因为$AB = AF + FB$，$AC = AE + EC$，且$AF = AE$，$FB = EC$，所以$AB = AC$。
【答案】：
证明：
∵$DF\perp AB$，$DE\perp AC$，
∴$\triangle ADF$和$\triangle ADE$是直角三角形。
∵$D$是$BC$中点，
∴$BD = DC$。
又
∵$DF = DE$，
在$Rt\triangle ADF$和$Rt\triangle ADE$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DF = DE\end{cases}$
∴$Rt\triangle ADF\cong Rt\triangle ADE(HL)$，
∴$AF = AE$。
在$Rt\triangle DFB$和$Rt\triangle DEC$中，
$\begin{cases}BD = DC\\DF = DE\end{cases}$
∴$Rt\triangle DFB\cong Rt\triangle DEC(HL)$，
∴$FB = EC$。
∵$AB = AF + FB$，$AC = AE + EC$，且$AF = AE$，$FB = EC$，
∴$AB = AC$。

1.在下列条件中,不能判断两个直角三角形全等的是(A)
A.两个锐角分别对应相等
B.斜边和一个锐角分别对应相等
C.两条直角边分别对应相等
D.斜边和一条直角边分别对应相等

答案： 【解析】：
本题考察的是直角三角形全等的判定条件。
A选项：两个锐角分别对应相等。在直角三角形中，如果仅知道两个锐角对应相等，并不能确定两个三角形全等，因为缺少边长的信息。
B选项：斜边和一个锐角分别对应相等。这符合直角三角形全等的$AAS$判定条件，即两个角及非夹角的一边对应相等，可以判定两个直角三角形全等。
C选项：两条直角边分别对应相等。这符合$SAS$判定条件，即两边及夹角对应相等（在直角三角形中，夹角为直角），可以判定两个直角三角形全等。
D选项：斜边和一条直角边分别对应相等。这符合直角三角形的$HL$判定条件，即斜边和一条直角边对应相等，可以判定两个直角三角形全等。
综上所述，只有A选项不能判定两个直角三角形全等。
【答案】：
A

2.如图,已知CE⊥AB,DF⊥AB,AF= BE,且AC= BD,则下列结论中不正确的是(C)

A.Rt△AEC≌Rt△BFD
B.∠C+∠B= 90°
C.∠A= ∠D
D.CE= DF

答案： 证明：
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°（垂直定义）。
∵AF=BE，
∴AF-EF=BE-EF，即AE=BF。
在Rt△AEC和Rt△BFD中，
AC=BD，
AE=BF，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD（HL），故A正确。
∴CE=DF（全等三角形对应边相等），故D正确。
∠A=∠B（全等三角形对应角相等）。
∵∠A+∠C=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠B+∠C=90°，故B正确。
∵∠A=∠B，无法直接得出∠A=∠D，故C不正确。
答案：C

例2 如图,已知∠A= ∠D= 90°,AC= DB,求证:OB= OC.
分析:由∠A= ∠D= 90°,BC= CB,AC= DB,知Rt△BAC≌Rt△CDB(HL),所以AB= DC,进而易证△ABO≌△DCO,所以有OB= OC.

答案： 【解析】：本题考查了三角形全等的判定定理和性质。首先，根据题目已知条件，我们有∠A= ∠D= 90°，这表明两个三角形都是直角三角形。又因为AC= DB且BC是两个三角形的公共边，所以我们可以利用HL（Hypotenuse-Leg）定理来证明两个三角形全等。接着，由于两个三角形全等，我们可以得出AB= DC。然后，我们可以利用这些信息来证明△ABO和△DCO全等，从而得出OB= OC。
【答案】： 证明：
∵∠A= ∠D= 90°，
∴△ABC与△DCB都是直角三角形。
在Rt△BAC和Rt△CDB中，
$ \left\{\begin{matrix}BC=CB\\AC=DB\end{matrix}\right.$
∴$Rt\triangle BAC\cong Rt\triangle CDB（HL）$。
∴$AB= DC$，
在△ABO和△DCO中，
$ \left\{\begin{matrix}\angle A=\angle D\\\angle AOB=\angle DOC\\AB=DC\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABO\cong\triangle DCO（AAS）$，
∴$OB= OC$。

3.如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,∠A= ∠DEF= 90°,且点A,E,C,F共线,∠B= ∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件:AB=ED（或BC=DF或AE=CF或AC=EF）,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.

答案： AB=ED（或BC=DF或AE=CF或AC=EF）

4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,线段AD,CE相交于点H.已知EH= EB= 3,AE= 4,则CH的长是1.

答案： 证明：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°。
∵∠EAH+∠B=90°，∠ECB+∠B=90°，
∴∠EAH=∠ECB。
在△AEH和△CEB中，
∠AEH=∠CEB，∠EAH=∠ECB，EH=EB，
∴△AEH≌△CEB（AAS）。
∴CE=AE=4。
∵EH=3，
∴CH=CE-EH=4-3=1。
1

1.(1)一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线;
(2)从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离.

答案： 【解析】：
本题主要考查了角的平分线的定义和点到直线的距离的定义。
对于（1），根据角的平分线的定义，一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。
对于（2），根据点到直线的距离的定义，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
【答案】：
(1) 平分线
(2) 点到直线的距离

2.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.
符号语言:
如图,∵ OC 平分∠AOB,点 P在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂
足分别为 D,E,∴ PD= PE.
(注意:不能直接得到 OD= OE)
注意：
角是一个轴对称图形,对称轴是角平分线所在直线.

答案： 【解析】：本题考查了角平分线的性质这一知识点。该性质表明角平分线上的点到角两边的距离相等。在本题的图形情境中，已知$OC$平分$\angle AOB$，点$P$在$OC$上，且$PD\perp OA$，$PE\perp OB$，根据角平分线的性质，可直接得出$PD = PE$，这里$PD$和$PE$就是点$P$到角$\angle AOB$两边$OA$和$OB$的距离。
【答案】：距离相等