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3.如图,若△ABE≌△ACD,且 AB= 6,AE= 2,则 EC 的长为(
A.2
B.3
C.4
D.6
C
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案：
解：
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AE=AD。
∵AB=6，
∴AC=6。
∵AE=2，
∴EC=AC - AE=6 - 2=4。
答案：C
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AE=AD。
∵AB=6，
∴AC=6。
∵AE=2，
∴EC=AC - AE=6 - 2=4。
答案：C
4.已知△ABC 与△DEF 全等,点 A,B,C 的对应点分别为点 D,E,F,且点 E 在 AC 上,B,F,C,D 四点共线,如图所示.若∠A= 40°,∠CED= 35°,则下列结论不正确的是(
A.∠EFC= ∠ECF
B.DE= AC
C.∠B= 65°
D.∠CEF= 30°
BD
)A.∠EFC= ∠ECF
B.DE= AC
C.∠B= 65°
D.∠CEF= 30°
答案：
解：
∵△ABC≌△DEF，A,B,C对应D,E,F，
∴∠A=∠D=40°，AB=DE，BC=EF，∠B=∠EFD，∠ACB=∠FED.
∵∠CED=35°，∠D=40°，
∴∠ECD=180°-∠D-∠CED=105°，
∴∠ACB=180°-∠ECD=75°，
∴∠FED=∠ACB=75°.
∵∠CED=35°，
∴∠CEF=∠FED-∠CED=40°，故D错误.
∵BC=EF，
∴∠EFC=∠ECF，故A正确.
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，AB=DE，无法直接得出DE=AC，故B错误.
∠B=180°-∠A-∠ACB=65°，故C正确.
答案：BD
∵△ABC≌△DEF，A,B,C对应D,E,F，
∴∠A=∠D=40°，AB=DE，BC=EF，∠B=∠EFD，∠ACB=∠FED.
∵∠CED=35°，∠D=40°，
∴∠ECD=180°-∠D-∠CED=105°，
∴∠ACB=180°-∠ECD=75°，
∴∠FED=∠ACB=75°.
∵∠CED=35°，
∴∠CEF=∠FED-∠CED=40°，故D错误.
∵BC=EF，
∴∠EFC=∠ECF，故A正确.
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，AB=DE，无法直接得出DE=AC，故B错误.
∠B=180°-∠A-∠ACB=65°，故C正确.
答案：BD
5.如图,△BKC≌△BKE≌△DKC,BE 与 KD 交于点 G,KE 与 CD 交于点 P,BE 与 CD 交于点 A,∠BKC= 134°,∠E= 22°,则∠KPD=
44°
.
答案：
证明：
∵△BKE≌△DKC，
∴∠KCD=∠E=22°，∠DKC=∠BKE。
∵△BKC≌△BKE，
∴∠BKC=∠BKE=134°，
∴∠DKC=∠BKE=134°。
在△KPC中，∠KPD=∠DKC - ∠KCD=134° - 22°=44°。
结论：∠KPD=44°。
∵△BKE≌△DKC，
∴∠KCD=∠E=22°，∠DKC=∠BKE。
∵△BKC≌△BKE，
∴∠BKC=∠BKE=134°，
∴∠DKC=∠BKE=134°。
在△KPC中，∠KPD=∠DKC - ∠KCD=134° - 22°=44°。
结论：∠KPD=44°。
三角形全等的基本事实：
两边
和它们的夹角
分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
答案：
【解析】：
本题考查三角形全等的基本事实之一——SAS（边角边）判定定理。根据题目要求，需要填写两个空，分别对应SAS判定定理中的两个条件。根据三角形全等的SAS判定定理，如果两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。题目中已经给出了“和它们的”以及“分别相等的两个三角形全等”的提示，因此第一个空应填写“两边”，第二个空应填写“夹角”。
【答案】：
两边；夹角
本题考查三角形全等的基本事实之一——SAS（边角边）判定定理。根据题目要求，需要填写两个空，分别对应SAS判定定理中的两个条件。根据三角形全等的SAS判定定理，如果两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。题目中已经给出了“和它们的”以及“分别相等的两个三角形全等”的提示，因此第一个空应填写“两边”，第二个空应填写“夹角”。
【答案】：
两边；夹角
例1 如图,已知AC= AD,AB平分∠CAD,求证:∠C= ∠D.
分析:通过证明△ABC≌△ABD,就可以得出∠C= ∠D.由题意可知,△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.
分析:通过证明△ABC≌△ABD,就可以得出∠C= ∠D.由题意可知,△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.
答案：
【解析】：
本题考查了三角形全等的判定方法，具体来说是通过“边角边”（SAS）的条件来证明两个三角形全等，从而得出对应的角相等，题目中给出了$AC = AD$，$AB$平分$\angle CAD$（即$\angle CAB=\angle DAB$），再加上公共边$AB = AB$，满足全等三角形的判定定理“边角边”，进而可以证明$\triangle ABC\cong\triangle ABD$，得出$\angle C=\angle D$。
【答案】：
证明：
∵$AB$平分$\angle CAD$，
∴$\angle CAB=\angle DAB$，
在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{matrix}AC = AD,\\\angle CAB=\angle DAB,\\AB = AB.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABC\cong\triangle ABD(SAS)$，
∴$\angle C=\angle D$。
本题考查了三角形全等的判定方法，具体来说是通过“边角边”（SAS）的条件来证明两个三角形全等，从而得出对应的角相等，题目中给出了$AC = AD$，$AB$平分$\angle CAD$（即$\angle CAB=\angle DAB$），再加上公共边$AB = AB$，满足全等三角形的判定定理“边角边”，进而可以证明$\triangle ABC\cong\triangle ABD$，得出$\angle C=\angle D$。
【答案】：
证明：
∵$AB$平分$\angle CAD$，
∴$\angle CAB=\angle DAB$，
在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{matrix}AC = AD,\\\angle CAB=\angle DAB,\\AB = AB.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABC\cong\triangle ABD(SAS)$，
∴$\angle C=\angle D$。
1. 如图,AD//BC,AD= BC,要使△ADF≌△CBE,需要添加下列选项中的(
A.AE= EF
B.DF= BE
C.∠A= ∠C
D.AE= CF
D
)A.AE= EF
B.DF= BE
C.∠A= ∠C
D.AE= CF
答案：
【解析】：
首先，我们明确题目给出的条件：$AD// BC$，$AD = BC$，以及四个选项A、B、C、D分别给出的额外条件。
A. $AE = EF$：这个条件只涉及到了线段$AE$和$EF$，并没有与$\triangle ADF$和$\triangle CBE$的全等判定直接相关的信息，如角或边的对应关系。
B. $DF = BE$：虽然给出了两条边的关系，但没有给出这两条边与两个三角形的对应关系，也不能直接证明两个三角形全等。
C. $\angle A = \angle C$：这个条件给出了两个角的关系，但仅有两个角相等并不能证明两个三角形全等，还需要边的条件。
D. $AE = CF$：由于$AD// BC$，根据平行线的性质，我们有$\angle A = \angle C$（内错角相等）。
又因为$AD = BC$，且$AE = CF$，则$AF = CE$（通过线段的加减得到）。
此时，在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，我们有$AD = BC$，$\angle A = \angle C$，$AF = CE$，满足$SAS$（边角边）全等条件。
因此，为了使$\triangle ADF \cong \triangle CBE$，我们需要添加的条件是$AE = CF$。
【答案】：
D
首先，我们明确题目给出的条件：$AD// BC$，$AD = BC$，以及四个选项A、B、C、D分别给出的额外条件。
A. $AE = EF$：这个条件只涉及到了线段$AE$和$EF$，并没有与$\triangle ADF$和$\triangle CBE$的全等判定直接相关的信息，如角或边的对应关系。
B. $DF = BE$：虽然给出了两条边的关系，但没有给出这两条边与两个三角形的对应关系，也不能直接证明两个三角形全等。
C. $\angle A = \angle C$：这个条件给出了两个角的关系，但仅有两个角相等并不能证明两个三角形全等，还需要边的条件。
D. $AE = CF$：由于$AD// BC$，根据平行线的性质，我们有$\angle A = \angle C$（内错角相等）。
又因为$AD = BC$，且$AE = CF$，则$AF = CE$（通过线段的加减得到）。
此时，在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，我们有$AD = BC$，$\angle A = \angle C$，$AF = CE$，满足$SAS$（边角边）全等条件。
因此，为了使$\triangle ADF \cong \triangle CBE$，我们需要添加的条件是$AE = CF$。
【答案】：
D
2. 如图,AB= DE,BF= EC,∠B= ∠E,求证:AC//DF.
答案：
【解析】：
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定。
首先，根据题目给出的条件$BF = EC$，可以得到$BF + FC = EC + FC$，即$BC = EF$。
然后，注意到题目已经给出了$AB = DE$和$\angle B = \angle E$，这构成了两个三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的两边及夹角相等的情况。
根据$SAS$（两边及夹角）全等判定定理，可以得出$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由于两个三角形全等，所以它们的对应角相等，即$\angle ACB = \angle DFE$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AC // DF$。
【答案】：
证明：
∵$BF = EC$，
∴$BF + FC = EC + FC$，即$BC = EF$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\left\{ \begin{matrix} AB = DE, \\\angle B = \angle E, \\BC = EF. \end{matrix} \right.$
∴$\triangle ABC \cong \triangle DEF(SAS)$，
∴$\angle ACB = \angle DFE$，
∴$AC // DF$。
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定。
首先，根据题目给出的条件$BF = EC$，可以得到$BF + FC = EC + FC$，即$BC = EF$。
然后，注意到题目已经给出了$AB = DE$和$\angle B = \angle E$，这构成了两个三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的两边及夹角相等的情况。
根据$SAS$（两边及夹角）全等判定定理，可以得出$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由于两个三角形全等，所以它们的对应角相等，即$\angle ACB = \angle DFE$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AC // DF$。
【答案】：
证明：
∵$BF = EC$，
∴$BF + FC = EC + FC$，即$BC = EF$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\left\{ \begin{matrix} AB = DE, \\\angle B = \angle E, \\BC = EF. \end{matrix} \right.$
∴$\triangle ABC \cong \triangle DEF(SAS)$，
∴$\angle ACB = \angle DFE$，
∴$AC // DF$。
例2 如图,在△ABC中,AC= BC,AC⊥BC,D为BC延长线上的点,E是AC上一点,且CE= CD.连接AD,BE,ED,则BE与AD之间有何关系？试说明你的理由.
分析:线段之间的关系要从数量关系与位置关系两个方面分析,于是不难猜想BE= AD且BE⊥AD.可结合图形猜想,然后看由已知能否得出这一结论:BE= AD且BE⊥AD.要证BE= AD,可证△BCE≌△ACD,注意∠ACB和∠ACD是一对直角;要证BE⊥AD,需要延长BE交AD于点F,然后证明∠AFE= 90°.
分析:线段之间的关系要从数量关系与位置关系两个方面分析,于是不难猜想BE= AD且BE⊥AD.可结合图形猜想,然后看由已知能否得出这一结论:BE= AD且BE⊥AD.要证BE= AD,可证△BCE≌△ACD,注意∠ACB和∠ACD是一对直角;要证BE⊥AD,需要延长BE交AD于点F,然后证明∠AFE= 90°.
答案：
【解析】：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及垂直的定义。
首先，根据题目已知条件$AC = BC$，$AC \perp BC$，$CE = CD$，以及$\angle ACB = \angle ACD = 90^{\circ}$，可以利用$SAS$（边角边）判定定理来证明$\triangle BCE \cong \triangle ACD$。
接着，由于$\triangle BCE \cong \triangle ACD$，根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，所以有$BE = AD$，$\angle CBE = \angle CAD$。
然后，为了证明$BE \perp AD$，可以延长$BE$交$AD$于点$F$，此时需要证明$\angle AFE = 90^{\circ}$。由于$\angle AEF$和$\angle BEC$是对顶角，所以$\angle AEF = \angle BEC$。
又因为$\angle CBE + \angle BEC = 90^{\circ}$（直角三角形的两个锐角互余），且$\angle CBE = \angle CAD$，所以$\angle CAD + \angle AEF = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，由于$\angle CAD + \angle AEF + \angle AFE = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$），且$\angle CAD + \angle AEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$。
因此，证明了$BE \perp AD$。
【答案】：$BE = AD$，$BE \perp AD$。
理由：
$\because AC = BC$，$AC \perp BC$，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。
$\because CE = CD$，$\angle ACB = \angle ACD = 90^{\circ}$，
在$\triangle BCE$和$\triangle ACD$中，
$\left\{\begin{matrix}BC = AC,\\\angle ACB = \angle ACD,\\CE = CD.\end{matrix}\right.$
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACD(SAS)$。
$\therefore BE = AD$，$\angle CBE = \angle CAD$。
延长$BE$交$AD$于点$F$，
$\because \angle AEF = \angle BEC$（对顶角相等），
且$\angle CBE + \angle BEC = 90^{\circ}$（直角三角形的两个锐角互余），
$\therefore \angle CAD + \angle AEF = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle AFE = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle AEF) = 90^{\circ}$。
$\therefore BE \perp AD$。
首先，根据题目已知条件$AC = BC$，$AC \perp BC$，$CE = CD$，以及$\angle ACB = \angle ACD = 90^{\circ}$，可以利用$SAS$（边角边）判定定理来证明$\triangle BCE \cong \triangle ACD$。
接着，由于$\triangle BCE \cong \triangle ACD$，根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，所以有$BE = AD$，$\angle CBE = \angle CAD$。
然后，为了证明$BE \perp AD$，可以延长$BE$交$AD$于点$F$，此时需要证明$\angle AFE = 90^{\circ}$。由于$\angle AEF$和$\angle BEC$是对顶角，所以$\angle AEF = \angle BEC$。
又因为$\angle CBE + \angle BEC = 90^{\circ}$（直角三角形的两个锐角互余），且$\angle CBE = \angle CAD$，所以$\angle CAD + \angle AEF = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，由于$\angle CAD + \angle AEF + \angle AFE = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$），且$\angle CAD + \angle AEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$。
因此，证明了$BE \perp AD$。
【答案】：$BE = AD$，$BE \perp AD$。
理由：
$\because AC = BC$，$AC \perp BC$，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。
$\because CE = CD$，$\angle ACB = \angle ACD = 90^{\circ}$，
在$\triangle BCE$和$\triangle ACD$中，
$\left\{\begin{matrix}BC = AC,\\\angle ACB = \angle ACD,\\CE = CD.\end{matrix}\right.$
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACD(SAS)$。
$\therefore BE = AD$，$\angle CBE = \angle CAD$。
延长$BE$交$AD$于点$F$，
$\because \angle AEF = \angle BEC$（对顶角相等），
且$\angle CBE + \angle BEC = 90^{\circ}$（直角三角形的两个锐角互余），
$\therefore \angle CAD + \angle AEF = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle AFE = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle AEF) = 90^{\circ}$。
$\therefore BE \perp AD$。
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