《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

1.如图,以△ABC 的顶点 A 为圆心,以 BC 长为半径作弧;再以顶点 C 为圆心,以 AB 长为半径作弧,两弧交于点 D,连接 AD,CD.若$∠B= 65^{\circ }$,则$∠ADC$的度数为______$65^{\circ}$.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的性质与判定。
根据作图的过程可知$AB=CD$，$BC=AD$，
又因为在$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup CDA$中，
$\left\{\begin{matrix}AB=CD,\\BC=AD,\\AC=CA.\end{matrix}\right.$
根据三角形全等（SSS）判定定理：两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
所以$\bigtriangleup ABC\cong\bigtriangleup CDA$。
所以$∠ADC=∠B=65^{\circ}$。
【答案】：$65^{\circ}$。

2.如图,若$AB= AC,DB= DC,∠BAC= 50^{\circ }$,则$∠BAD$的度数为$25^\circ$.

答案： 【解析】：本题考查了全等三角形的判定与性质。
首先，由于$AB = AC$，$DB = DC$，且$AD$为公共边，即$AD=AD$。
所以，根据$SSS$（三边相等）全等条件，可以得出$\triangle ABD \cong \triangle ACD$。
由于$\triangle ABD$和$\triangle ACD$是全等的，所以它们的对应角相等。
即$\angle BAD = \angle CAD$。
又因为已知$\angle BAC = 50^\circ$，且$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$。
由于$\angle BAD = \angle CAD$，所以$\angle BAD = \frac{1}{2} × \angle BAC = \frac{1}{2} × 50^\circ = 25^\circ$。
【答案】：$25^\circ$。

例2 如图,点 E,C 在线段 BF 上,$BE= CF,AB= DE,AC= DF$,求证:$∠ABC= ∠DEF.$
分析:由已知易得$BC= EF$,用“SSS”先证明$△ABC\cong △DEF$,然后利用全等三角形的性质即可求出$∠ABC= ∠DEF.$

答案： 【解析】：本题考查了全等三角形的判定与性质。
证明：
已知$BE=CF$，
因为$BE+EC=BC$，$CF+EC=EF$，
所以$BC=EF$，
又因为$AB=DE$，$AC=DF$，
所以在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DF,\\BC=EF.\end{cases}$
根据三角形全等（SSS）判定定理：两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$，
由于全等三角形的对应角相等，
所以$\angle ABC=\angle DEF$。
【答案】：证明：
$\because BE=CF$，
$\therefore BC=EF$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}AB=DE,\\AC=DF,\\BC=EF.\end{cases}$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$，
$\therefore\angle ABC=\angle DEF$。

3.(2023·西藏)如图,已知$AB= DE,AC= DC,CE= CB$.求证:$∠1= ∠2.$

答案： 证明：在△ABC和△DEC中，
$\begin{cases}AB = DE \\AC = DC \\CB = CE\end{cases}$
∴△ABC≌△DEC（SSS）
∴∠ACB = ∠DCE
∵∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE
∴∠1 = ∠2

4.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,$∠AOB$是一个任意角,在边 OA,OB 上分别取$OM= ON$,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点 M,N 重合.过角尺顶点 C 的射线 OC 便是$∠AOB$的平分线.为什么?

答案： 【解析】：本题主要考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义。
为了证明射线$OC$是$\angle AOB$的平分线，需要证明$\triangle OMC$与$\triangle ONC$全等。
根据题目条件，已知$OM = ON$，$CM = CN$（因为角尺两边相同的刻度分别与点$M$，$N$重合），且$OC$为公共边。
根据$SSS$（三边全等）全等条件，可以得出$\triangle OMC \cong \triangle ONC$。
由于全等三角形的对应角相等，所以$\angle MOC = \angle NOC$。
根据角平分线的定义，若一条射线将一个角分为两个相等的角，则这条射线是该角的平分线。
因此，射线$OC$是$\angle AOB$的平分线。
【答案】：证明：
由题可知：$OM = ON$，$CM = CN$，且$OC$为公共边，
所以$\triangle OMC \cong \triangle ONC(SSS)$，
所以$\angle MOC = \angle NOC$，
所以$OC$是$\angle AOB$的平分线。

例3 如图,已知$AB= DC,DB= AC$,AC,BD 相交于点 O.
(1)求证:$∠B= ∠C;$
(2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?
分析:要证$∠B= ∠C$,可证它们所在的三角形全

等

,再由全等三角形性质可得.因为$∠B与∠C所在的△AOB与△DOC$不具备全等的条件,就需要在图中构造全等三角形.在添加辅助线 AD 后,证明$△BAD和△CDA$全等并不困难.

答案： 【解析】：
（1）为了证明$\angle B = \angle C$，我们可以考虑证明它们所在的两个三角形全等。观察图形，我们可以看到$\triangle AOB$和$\triangle DOC$并不具备直接全等的条件。因此，我们需要通过添加辅助线来构造全等的三角形。连接AD，这样我们就得到了两个新的三角形：$\triangle BAD$和$\triangle CDA$。
第一步，连接AD，得到$\triangle BAD$和$\triangle CDA$。
第二步，根据已知条件，我们有$AB = DC$，$DB = AC$，并且$AD$是两个三角形的公共边，即$AD = DA$。
第三步，根据三角形的全等定理，当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形全等。所以，由$AB = DC$，$DB = AC$和$AD = DA$，我们可以得出$\triangle BAD \cong \triangle CDA$（SSS）。
第四步，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等。因此，由$\triangle BAD \cong \triangle CDA$，我们可以得出$\angle B = \angle C$。
（2）在（1）的证明过程中，为了找到证明$\angle B = \angle C$的途径，我们需要作辅助线AD。这条辅助线的意图是构造两个可能全等的三角形（即$\triangle BAD$和$\triangle CDA$），以便利用三角形的全等定理和性质来证明$\angle B = \angle C$。通过连接不直接相连的两个点A和D，我们为证明创造了必要的条件。
【答案】：
(1)证明：连接AD，
∵$AB = DC$，$DB = AC$，$AD = DA$（公共边），
∴$\triangle BAD \cong \triangle CDA$（SSS），
∴$\angle B = \angle C$。
(2)作辅助线的意图是构造全等三角形，以便利用三角形的全等性质证明$\angle B = \angle C$。

5.如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AD= AC,DE= CE$.求证:$ED⊥AB.$

答案： 证明：在△ACE和△ADE中，
∵AC=AD，CE=DE，AE=AE，
∴△ACE≌△ADE（SSS），
∴∠ADE=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=90°，
∴ED⊥AB．