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例3 先化简,再求值:$(a+b)(a-b)+(a+b)^{2}-a(2a+b)$,其中$a= -\frac{2}{3},b= -1\frac{1}{2}.$
答案：
解：原式$=a^{2}-b^{2}+a^{2}+2ab+b^{2}-2a^{2}-ab$
$=(a^{2}+a^{2}-2a^{2})+(-b^{2}+b^{2})+(2ab - ab)$
$=ab$
当$a=-\frac{2}{3}$，$b=-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$时，
原式$=(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{2})=1$
$=(a^{2}+a^{2}-2a^{2})+(-b^{2}+b^{2})+(2ab - ab)$
$=ab$
当$a=-\frac{2}{3}$，$b=-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$时，
原式$=(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{2})=1$
5.先化简,再求值:$(2x-3)^{2}+(x+4)(x-4)+5x(2-x)$,其中$x= -\frac{1}{2}.$
答案：
【解析】：
本题主要考查了完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算。
首先，我们展开$(2x-3)^{2}$，根据完全平方公式，得到$4x^{2} - 12x + 9$。
接着，我们展开$(x+4)(x-4)$，根据平方差公式，得到$x^{2} - 16$。
然后，我们展开$5x(2-x)$，得到$10x - 5x^{2}$。
将上述三部分的结果相加，得到原式$= 4x^{2} - 12x + 9 + x^{2} - 16 + 10x - 5x^{2}$。
合并同类项，得到原式$= - 2x - 7$。
最后，将$x = - \frac{1}{2}$代入原式，即可求出原式的值。
【答案】：
解：原式
$= (2x-3)^{2} + (x+4)(x-4) + 5x(2-x)$
$= 4x^{2} - 12x + 9 + x^{2} - 16 + 10x - 5x^{2}$
$= - 2x - 7$
当$x = - \frac{1}{2}$时，
原式$= - 2 × ( - \frac{1}{2}) - 7$
$= 1 - 7$
$= - 6$
本题主要考查了完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算。
首先，我们展开$(2x-3)^{2}$，根据完全平方公式，得到$4x^{2} - 12x + 9$。
接着，我们展开$(x+4)(x-4)$，根据平方差公式，得到$x^{2} - 16$。
然后，我们展开$5x(2-x)$，得到$10x - 5x^{2}$。
将上述三部分的结果相加，得到原式$= 4x^{2} - 12x + 9 + x^{2} - 16 + 10x - 5x^{2}$。
合并同类项，得到原式$= - 2x - 7$。
最后，将$x = - \frac{1}{2}$代入原式，即可求出原式的值。
【答案】：
解：原式
$= (2x-3)^{2} + (x+4)(x-4) + 5x(2-x)$
$= 4x^{2} - 12x + 9 + x^{2} - 16 + 10x - 5x^{2}$
$= - 2x - 7$
当$x = - \frac{1}{2}$时，
原式$= - 2 × ( - \frac{1}{2}) - 7$
$= 1 - 7$
$= - 6$
例4 已知$(a+b)^{2}= 7,(a-b)^{2}= 4$,求$a^{2}+b^{2}$和ab的值.
分析:借助完全平方公式的变形:$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}= 2(a^{2}+b^{2});(a+b)^{2}-(a-b)^{2}= 4ab$.使用整体思想易得.
归纳：
在完全平方公式中,常将$a+b,a-b,a^{2}+b^{2},ab$看成一个整体,运用整体思想解决问题.
分析:借助完全平方公式的变形:$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}= 2(a^{2}+b^{2});(a+b)^{2}-(a-b)^{2}= 4ab$.使用整体思想易得.
归纳：
在完全平方公式中,常将$a+b,a-b,a^{2}+b^{2},ab$看成一个整体,运用整体思想解决问题.
答案：
解：因为$(a + b)^2 = 7$，$(a - b)^2 = 4$，
由完全平方公式变形可得：
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$，
所以$7 + 4 = 2(a^2 + b^2)$，
$11 = 2(a^2 + b^2)$，
$a^2 + b^2 = \frac{11}{2}$；
又因为$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$，
所以$7 - 4 = 4ab$，
$3 = 4ab$，
$ab = \frac{3}{4}$。
综上，$a^2 + b^2$的值为$\frac{11}{2}$，$ab$的值为$\frac{3}{4}$。
由完全平方公式变形可得：
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$，
所以$7 + 4 = 2(a^2 + b^2)$，
$11 = 2(a^2 + b^2)$，
$a^2 + b^2 = \frac{11}{2}$；
又因为$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$，
所以$7 - 4 = 4ab$，
$3 = 4ab$，
$ab = \frac{3}{4}$。
综上，$a^2 + b^2$的值为$\frac{11}{2}$，$ab$的值为$\frac{3}{4}$。
6.已知$a+b= -5,ab= -6$,则$a^{2}+ab+b^{2}= $
31
.
答案：
【解析】：
本题主要考察完全平方公式的应用。
首先，我们可以将$a^{2}+ab+b^{2}$进行变形，得到：
$a^{2}+ab+b^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} - ab$
这样，我们可以利用完全平方公式$(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$，将上式进一步化简为：
$a^{2}+ab+b^{2} = (a+b)^{2} - ab$
根据题目给出的条件，我们有$a+b=-5$和$ab=-6$，代入上式，得到：
$a^{2}+ab+b^{2} = (-5)^{2} - (-6) = 25 + 6 = 31$
【答案】：
$31$
本题主要考察完全平方公式的应用。
首先，我们可以将$a^{2}+ab+b^{2}$进行变形，得到：
$a^{2}+ab+b^{2} = a^{2}+2ab+b^{2} - ab$
这样，我们可以利用完全平方公式$(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$，将上式进一步化简为：
$a^{2}+ab+b^{2} = (a+b)^{2} - ab$
根据题目给出的条件，我们有$a+b=-5$和$ab=-6$，代入上式，得到：
$a^{2}+ab+b^{2} = (-5)^{2} - (-6) = 25 + 6 = 31$
【答案】：
$31$
7.若$x-y= \sqrt{3},xy= -\frac{3}{4}$,则$x^{2}-y^{2}= $
0
.
答案：
解：
∵$x - y = \sqrt{3}$，$xy = -\frac{3}{4}$
$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = (\sqrt{3})^2 + 4×(-\frac{3}{4}) = 3 - 3 = 0$
$∴x + y = 0$
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 0×\sqrt{3} = 0$
故答案为：$0$
∵$x - y = \sqrt{3}$，$xy = -\frac{3}{4}$
$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = (\sqrt{3})^2 + 4×(-\frac{3}{4}) = 3 - 3 = 0$
$∴x + y = 0$
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 0×\sqrt{3} = 0$
故答案为：$0$
8.(2022·德阳)已知$(x+y)^{2}= 25,(x-y)^{2}= 9$,则$xy= $
4
.
答案：
解：
$\begin{aligned}\because (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 = 25, \\(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 = 9, \\\therefore (x + y)^2 - (x - y)^2 &= (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 25 - 9, \\4xy &= 16, \\xy &= 4.\end{aligned}$
4
$\begin{aligned}\because (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 = 25, \\(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 = 9, \\\therefore (x + y)^2 - (x - y)^2 &= (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 25 - 9, \\4xy &= 16, \\xy &= 4.\end{aligned}$
4
1.去括号：
(1)$a-(-2b+m-n)=$
(2)$a+(-2b+m-n)=$
(1)$a-(-2b+m-n)=$
$a + 2b - m + n$
；(2)$a+(-2b+m-n)=$
$a - 2b + m - n$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察去括号的运算。在数学中，去括号是一个基础的代数运算技能，它涉及到对括号内元素的符号处理。
对于第一个表达式 $a-(-2b+m-n)$，我们需要将括号内的每一项都取反，因为括号前是负号。即，$-(-2b)$ 变为 $2b$，$-m$ 变为 $+m$ 的相反数即 $-m$ 保持不变但考虑前面的负号变为 $+m$，$-n$ 同样变为 $+n$。所以，最终表达式变为 $a + 2b - m + n$。
对于第二个表达式 $a+(-2b+m-n)$，括号前是正号，所以括号内的每一项符号保持不变。即，$-2b$ 保持不变，$m$ 保持不变，$-n$ 也保持不变。所以，最终表达式变为 $a - 2b + m - n$。
【答案】：
(1) $a + 2b - m + n$
(2) $a - 2b + m - n$
本题主要考察去括号的运算。在数学中，去括号是一个基础的代数运算技能，它涉及到对括号内元素的符号处理。
对于第一个表达式 $a-(-2b+m-n)$，我们需要将括号内的每一项都取反，因为括号前是负号。即，$-(-2b)$ 变为 $2b$，$-m$ 变为 $+m$ 的相反数即 $-m$ 保持不变但考虑前面的负号变为 $+m$，$-n$ 同样变为 $+n$。所以，最终表达式变为 $a + 2b - m + n$。
对于第二个表达式 $a+(-2b+m-n)$，括号前是正号，所以括号内的每一项符号保持不变。即，$-2b$ 保持不变，$m$ 保持不变，$-n$ 也保持不变。所以，最终表达式变为 $a - 2b + m - n$。
【答案】：
(1) $a + 2b - m + n$
(2) $a - 2b + m - n$
2.添括号：
(1)$a+2b-m+n= a-$(
(2)$a-2b+m-n= a+$(
观察右边括号里各项的符号与左边式子相对应的项的符号有何变化,你能说说它们的规律吗?
(1)$a+2b-m+n= a-$(
$-2b+m-n$
)；(2)$a-2b+m-n= a+$(
$-2b+m-n$
).观察右边括号里各项的符号与左边式子相对应的项的符号有何变化,你能说说它们的规律吗?
答案：
【解析】：
本题主要考查添括号的法则以及式子中各项符号的变化规律。
添括号法则为：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
(1) 对于 $a + 2b - m + n = a - (\text{______})$，
我们需要将 $2b - m + n$ 变为相反数并放入括号内，即 $- ( - 2b + m - n )$，简化后得 $a - ( - 2b + m - n ) = a + 2b - m + n$（但实际填写时只需写 $- 2b + m - n$，因为括号前的负号已经表示了取反）。
观察可知，括号里各项的符号与左边式子中相对应的项的符号相反。
(2) 对于 $a - 2b + m - n = a + (\text{______})$，
我们需要将 $- 2b + m - n$ 直接放入括号内，即 $a + ( - 2b + m - n )$。
观察可知，括号里各项的符号与左边式子中相对应的项的符号相同。
规律：添括号时，括号前是``$+$''号，把各项都不改变符号后放入括号；括号前是``$-$''号，把各项都改变符号后放入括号。
【答案】：
(1) $- 2b + m - n$
(2) $- 2b + m - n$
规律：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
本题主要考查添括号的法则以及式子中各项符号的变化规律。
添括号法则为：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
(1) 对于 $a + 2b - m + n = a - (\text{______})$，
我们需要将 $2b - m + n$ 变为相反数并放入括号内，即 $- ( - 2b + m - n )$，简化后得 $a - ( - 2b + m - n ) = a + 2b - m + n$（但实际填写时只需写 $- 2b + m - n$，因为括号前的负号已经表示了取反）。
观察可知，括号里各项的符号与左边式子中相对应的项的符号相反。
(2) 对于 $a - 2b + m - n = a + (\text{______})$，
我们需要将 $- 2b + m - n$ 直接放入括号内，即 $a + ( - 2b + m - n )$。
观察可知，括号里各项的符号与左边式子中相对应的项的符号相同。
规律：添括号时，括号前是``$+$''号，把各项都不改变符号后放入括号；括号前是``$-$''号，把各项都改变符号后放入括号。
【答案】：
(1) $- 2b + m - n$
(2) $- 2b + m - n$
规律：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
3.添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都
试一试：
(1)$x-a-b+1= x-a-$(
(2)$a-b+c-d= a+$(
(3)$a+b-c+d= a-$(
(4)$a-b-c+d= -$(
不变号
;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
.试一试：
(1)$x-a-b+1= x-a-$(
b - 1
)；(2)$a-b+c-d= a+$(
-b + c - d
)；(3)$a+b-c+d= a-$(
-b + c - d
)；(4)$a-b-c+d= -$(
-a + b + c - d
).
答案：
3. 不变号；改变符号
(1) b - 1
(2) -b + c - d
(3) -b + c - d
(4) -a + b + c - d
(1) b - 1
(2) -b + c - d
(3) -b + c - d
(4) -a + b + c - d
例 1 按下列要求,给多项式$5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$添上括号：
(1)把中间两项括到前面带有“-”号的括号里；
(2)把前两项括到前面带有“+”号的括号里,后两项括到前面带有“-”
(3)把后三项括到前面带有“-”号的括号里；
(4)把四次项括到前面带有“+”号的括号里,把二次项括到前面带有“-”
归纳：
在添括号时,要清楚把哪些项放在括号里,再根据括号前的符号来决定放进括号里的项是否变号.
(1)把中间两项括到前面带有“-”号的括号里；
(2)把前两项括到前面带有“+”号的括号里,后两项括到前面带有“-”
号
的括号里；(3)把后三项括到前面带有“-”号的括号里；
(4)把四次项括到前面带有“+”号的括号里,把二次项括到前面带有“-”
号
的括号里.归纳：
在添括号时,要清楚把哪些项放在括号里,再根据括号前的符号来决定放进括号里的项是否变号.
答案：
【解析】：
本题主要考查了添括号法则的运用。添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
(1) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把中间两项 $-2ab$ 和 $3ab^{3}$ 括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3}) - 2b^{2}$。
(2) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把前两项 $5a^{3}b$ 和 $-2ab$ 括到前面带有“+”号的括号里，后两项 $3ab^{3}$ 和 $-2b^{2}$ 括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$(5a^{3}b - 2ab) - (-3ab^{3} + 2b^{2})$，简化后得：$(5a^{3}b - 2ab) - (-3ab^{3} + 2b^{2}) = 5a^{3}b - 2ab +3ab^{3} - 2b^{2}$（这一步是验证添括号是否正确，实际答题时无需写出）。
(3) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把后三项 $-2ab$，$3ab^{3}$ 和 $-2b^{2}$ 括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3} + 2b^{2})$。
(4) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把四次项 $5a^{3}b$ 和 $3ab^{3}$ 括到前面带有“+”号的括号里，二次项 $-2ab$ 和 $-2b^{2}$（注意，虽然 $-2b^{2}$ 不是 $a，b$ 的二次项，但它是 $b$ 的二次项，且题目要求将其括到前面带有“-”号的括号里）括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$(5a^{3}b + 3ab^{3}) - (2ab + 2b^{2})$。
【答案】：
(1) $5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3}) - 2b^{2}$；
(2) $(5a^{3}b - 2ab) - (-3ab^{3} + 2b^{2})$；
(3) $5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3} + 2b^{2})$；
(4) $(5a^{3}b + 3ab^{3}) - (2ab + 2b^{2})$。
本题主要考查了添括号法则的运用。添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
(1) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把中间两项 $-2ab$ 和 $3ab^{3}$ 括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3}) - 2b^{2}$。
(2) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把前两项 $5a^{3}b$ 和 $-2ab$ 括到前面带有“+”号的括号里，后两项 $3ab^{3}$ 和 $-2b^{2}$ 括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$(5a^{3}b - 2ab) - (-3ab^{3} + 2b^{2})$，简化后得：$(5a^{3}b - 2ab) - (-3ab^{3} + 2b^{2}) = 5a^{3}b - 2ab +3ab^{3} - 2b^{2}$（这一步是验证添括号是否正确，实际答题时无需写出）。
(3) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把后三项 $-2ab$，$3ab^{3}$ 和 $-2b^{2}$ 括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3} + 2b^{2})$。
(4) 对于多项式 $5a^{3}b-2ab+3ab^{3}-2b^{2}$，要把四次项 $5a^{3}b$ 和 $3ab^{3}$ 括到前面带有“+”号的括号里，二次项 $-2ab$ 和 $-2b^{2}$（注意，虽然 $-2b^{2}$ 不是 $a，b$ 的二次项，但它是 $b$ 的二次项，且题目要求将其括到前面带有“-”号的括号里）括到前面带有“-”号的括号里，根据添括号法则，写为：$(5a^{3}b + 3ab^{3}) - (2ab + 2b^{2})$。
【答案】：
(1) $5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3}) - 2b^{2}$；
(2) $(5a^{3}b - 2ab) - (-3ab^{3} + 2b^{2})$；
(3) $5a^{3}b - (2ab - 3ab^{3} + 2b^{2})$；
(4) $(5a^{3}b + 3ab^{3}) - (2ab + 2b^{2})$。
1.下列运算正确的是 (
A.$-2(3x-1)= -6x-1$
B.$-2(3x-1)= -6x+1$
C.$-2(3x-1)= -6x-2$
D.$-2(3x-1)= -6x+2$
D
)A.$-2(3x-1)= -6x-1$
B.$-2(3x-1)= -6x+1$
C.$-2(3x-1)= -6x-2$
D.$-2(3x-1)= -6x+2$
答案：
解：根据乘法分配律，$-2(3x - 1) = -2 × 3x + (-2) × (-1) = -6x + 2$。
D
D
2.已知$2a-b= -3$,则代数式$9-4a+2b$的值是(
A.3
B.15
C.12
D.6
B
)A.3
B.15
C.12
D.6
答案：
解：
∵ $2a - b = -3$，
∴ $-4a + 2b = -2(2a - b) = -2×(-3) = 6$，
∴ $9 - 4a + 2b = 9 + 6 = 15$。
答案：B
∵ $2a - b = -3$，
∴ $-4a + 2b = -2(2a - b) = -2×(-3) = 6$，
∴ $9 - 4a + 2b = 9 + 6 = 15$。
答案：B
3.式子$3a-4b-5$的相反数是
$-3a + 4b + 5$
.
答案：
解：根据相反数的定义，得
式子$3a - 4b - 5$的相反数是$-(3a - 4b - 5)$
去括号，得$-3a + 4b + 5$
故答案为：$-3a + 4b + 5$
式子$3a - 4b - 5$的相反数是$-(3a - 4b - 5)$
去括号，得$-3a + 4b + 5$
故答案为：$-3a + 4b + 5$
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