《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

(1)$x^{2}+4x+3$；
解:原式=$(x+1)(x+3)$
(2)$x^{2}-2x-3$.
解:原式=$(x-3)(x+1)$

答案： 【解析】：
本题考查了十字相乘法分解因式。
对于多项式 $x^{2}+4x+3$，需要找到两个数，它们的和为4，乘积为3。这两个数分别是1和3。
因此，可以将多项式 $x^{2}+4x+3$ 分解为 $(x+1)(x+3)$。
对于多项式 $x^{2}-2x-3$，需要找到两个数，它们的和为-2，乘积为-3。这两个数分别是-3和1。
因此，可以将多项式 $x^{2}-2x-3$ 分解为 $(x-3)(x+1)$。
【答案】：
(1) $x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)$
(2) $x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$

例1 分解因式：
(1)$x^{2}-7x+10$； (2)$x^{2}-4x-12$；
(3)$x^{2}+8x+15$； (4)$x^{2}-8x-9$；
(5)$x^{2}-10x+21$； (6)$x^{2}-x-6$.
归纳：
对于$x^{2}+px+q= x^{2}+(a+b)x+ab$：
(1)当$q＞0$时,a,b同号,且a,b的符号与p的符号相同；
(2)当$q＜0$时,a,b异号,且a,b中绝对值较大者的符号与p的符号相同.
口诀：
常数项为正,考虑分成和(分成的两数绝对值的和等于一次项系数的绝对值)；
常数项为负,考虑分成差[分成的两数差(大减小)等于一次项系数的绝对值]；
至于定符号,一次项指导.

答案： 【解析】：
本题考查的是利用十字相乘法进行因式分解。
首先，我们需要找到两个数，它们的和等于一次项的系数，且它们的乘积等于常数项。
然后，利用找到的这两个数，将原二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
(1) 对于 $x^{2}-7x+10$：
找到两个数，它们的和为-7，乘积为10，这两个数是-2和-5。
所以，$x^{2}-7x+10 = (x-2)(x-5)$。
(2) 对于 $x^{2}-4x-12$：
找到两个数，它们的和为-4，乘积为-12，这两个数是-6和2。
所以，$x^{2}-4x-12 = (x-6)(x+2)$。
(3) 对于 $x^{2}+8x+15$：
找到两个数，它们的和为8，乘积为15，这两个数是3和5。
所以，$x^{2}+8x+15 = (x+3)(x+5)$。
(4) 对于 $x^{2}-8x-9$：
找到两个数，它们的和为-8，乘积为-9，这两个数是-9和1。
所以，$x^{2}-8x-9 = (x-9)(x+1)$。
(5) 对于 $x^{2}-10x+21$：
找到两个数，它们的和为-10，乘积为21，这两个数是-3和-7。
所以，$x^{2}-10x+21 = (x-3)(x-7)$。
(6) 对于 $x^{2}-x-6$：
找到两个数，它们的和为-1，乘积为-6，这两个数是-3和2。
所以，$x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2)$。
【答案】：
(1) $x^{2}-7x+10 = (x-2)(x-5)$
(2) $x^{2}-4x-12 = (x-6)(x+2)$
(3) $x^{2}+8x+15 = (x+3)(x+5)$
(4) $x^{2}-8x-9 = (x-9)(x+1)$
(5) $x^{2}-10x+21 = (x-3)(x-7)$
(6) $x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2)$

1.分解因式$x^{2}-5x-14$,正确的结果是 (D)
A.$(x-5)(x-14)$
B.$(x-2)(x-7)$
C.$(x-2)(x+7)$
D.$(x+2)(x-7)$

答案： 解：要分解因式$x^{2}-5x - 14$，需找到两个数$a$、$b$，使得$a + b=-5$，$a× b=-14$。
经过分析，$a = 2$，$b=-7$满足条件，因为$2+(-7)=-5$，$2×(-7)=-14$。
所以$x^{2}-5x - 14=(x + 2)(x - 7)$。
答案：D

2.把多项式$x^{2}+5x+m分解因式得(x+n)(x-2)$,则常数m,n的值分别为 (A)
A.$m= -14,n= 7$
B.$m= 14,n= -7$
C.$m= 14,n= 7$
D.$m= -14,n= -7$

答案： 解：因为$x^{2}+5x+m=(x+n)(x-2)$，
而$(x+n)(x-2)=x^{2}+(-2 + n)x - 2n$，
所以可得$\begin{cases}-2 + n = 5\\m = -2n\end{cases}$，
由$-2 + n = 5$，解得$n = 7$，
将$n = 7$代入$m = -2n$，得$m = -2×7 = -14$，
故$m=-14$，$n=7$，选A。

例2 分解因式：
(1)$-x^{2}-6x+16$； (2)$6x^{2}-23x+10$；
(3)$8x^{2}-22x+15$； (4)$14a^{2}-29a-15$.
归纳：
十字相乘法的要领是:“头(二次项)尾(常数项)分解,交叉相乘,求和凑中(一次项),观察试验,要想熟练,勤习多看.”

答案：
(1)解：$-x^{2}-6x+16$
$=-(x^{2}+6x-16)$
$=-(x+8)(x-2)$
(2)解：$6x^{2}-23x+10$
$=(2x-5)(3x-2)$
(3)解：$8x^{2}-22x+15$
$=(2x-3)(4x-5)$
(4)解：$14a^{2}-29a-15$
$=(2a-5)(7a+3)$

3.分解因式：
(1)$10x^{2}+x-21$；
(2)$3x^{2}-19x-14$.

答案：
(1)解：$10x^{2}+x-21=(2x+3)(5x-7)$
(2)解：$3x^{2}-19x-14=(x-7)(3x+2)$

(1)多项式$x^{2}+8x+k$分解因式后的一个因式是$x-2$,则另一个因式是$x+10$.
(2)多项式$x^{2}+mx+5$因式分解得$(x+5)(x+n)$,则$m=$6,$n=$1.

答案： 【解析】：
(1) 对于多项式 $x^{2}+8x+k$，已知其中一个因式是 $x-2$，设另一个因式为 $x+m$。
根据十字相乘法，有：
$(x-2)(x+m) = x^{2} + (m-2)x - 2m$
对比系数，得：
$m-2 = 8 \Rightarrow m = 10$
$-2m = k \Rightarrow k = -20$
但题目只问另一个因式，所以答案是 $x+10$。
(2) 对于多项式 $x^{2}+mx+5$，已知因式分解得 $(x+5)(x+n)$。
根据十字相乘法，有：
$(x+5)(x+n) = x^{2} + (5+n)x + 5n$
对比系数，得：
$5+n = m$
$5n = 5 \Rightarrow n = 1$
代入得 $m = 6$。
【答案】：
(1) $x+10$
(2) $m=6$，$n=1$