《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

$(a+b)^{2}=$$a^{2}+2ab+b^{2}$(完全平方和公式)；
$(a-b)^{2}=$$a^{2}-2ab+b^{2}$(完全平方差公式).
即两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
注意:公式的结构特征:
(1)公式左边是两个相同的二项式相乘,这两项同号或异号.
(2)公式右边是一个三项式,其中两项是左边括号中两项的平方和,第三项是左边括号中的两项的积的2倍,符号满足同号为正、异号为负.满足这个特征的三项式称为完全平方式.
(3)公式中的字母a,b可代表任意的数或含字母的式子.

答案： $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$；
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$.

例1 用完全平方公式计算:
(1)$(4m+n)^{2};$
(2)$(y-\frac{1}{2})^{2};$
(3)$(-3a-2b)^{2};$
(4)$(-2x+5)^{2};$
(5)$(\frac{3}{4}x-\frac{2}{3}y)^{2};$
(6)$(x-3y)(3y-x);$
(7)$(19\frac{1}{2})^{2};$
(8)$102^{2};$
(9)$(x+2y-3z)^{2}.$
归纳：
(1)常见完全平方公式的结果是三项式:“首”平方,“尾”平方,二倍“首尾”在中央；
(2)推广式:$(x+y+z)^{2}= x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz.$

答案：
(1)解：$(4m+n)^{2}=(4m)^{2}+2\cdot4m\cdot n+n^{2}=16m^{2}+8mn+n^{2}$
(2)解：$(y-\frac{1}{2})^{2}=y^{2}-2\cdot y\cdot\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}=y^{2}-y+\frac{1}{4}$
(3)解：$(-3a-2b)^{2}=[-(3a+2b)]^{2}=(3a+2b)^{2}=(3a)^{2}+2\cdot3a\cdot2b+(2b)^{2}=9a^{2}+12ab+4b^{2}$
(4)解：$(-2x+5)^{2}=(5-2x)^{2}=5^{2}-2\cdot5\cdot2x+(2x)^{2}=25-20x+4x^{2}$
(5)解：$(\frac{3}{4}x-\frac{2}{3}y)^{2}=(\frac{3}{4}x)^{2}-2\cdot\frac{3}{4}x\cdot\frac{2}{3}y+(\frac{2}{3}y)^{2}=\frac{9}{16}x^{2}-xy+\frac{4}{9}y^{2}$
(6)解：$(x-3y)(3y-x)=-(x-3y)(x-3y)=-(x-3y)^{2}=-(x^{2}-6xy+9y^{2})=-x^{2}+6xy-9y^{2}$
(7)解：$(19\frac{1}{2})^{2}=(20-\frac{1}{2})^{2}=20^{2}-2\cdot20\cdot\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}=400-20+\frac{1}{4}=380\frac{1}{4}$
(8)解：$102^{2}=(100+2)^{2}=100^{2}+2\cdot100\cdot2+2^{2}=10000+400+4=10404$
(9)解：$(x+2y-3z)^{2}=[(x+2y)-3z]^{2}=(x+2y)^{2}-2\cdot(x+2y)\cdot3z+(3z)^{2}=x^{2}+4xy+4y^{2}-6xz-12yz+9z^{2}$

1.若$(x-2)^{2}= x^{2}+mx+n$,则m,n的值分别是(B)
A.4,4
B.-4,4
C.-4,-4
D.4,-4

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的展开。
根据完全平方公式，我们有：
$(x-2)^{2} = x^{2} - 2 × 2 × x + 2^{2}$
展开后得到：
$(x-2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$
与题目中给定的 $(x-2)^{2} = x^{2} + mx + n$ 对比，我们可以得到：
$m = -4$
$n = 4$
【答案】：
B. -4, 4。

2.已知$(x-1)^{2}= 2$,则代数式$x^{2}-2x+5$的值为(C)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 【解析】：
题目给出了$(x-1)^{2}= 2$，我们需要求$x^{2}-2x+5$的值。
首先，我们可以将$x^{2}-2x+5$进行变形，得到：
$x^{2}-2x+5 = (x-1)^{2} + 4$，
由于已知$(x-1)^{2}= 2$，我们可以将这个值代入上面的等式中，得到：
$x^{2}-2x+5 = 2 + 4 = 6$。
所以，代数式$x^{2}-2x+5$的值为6。
【答案】：C

3.下列计算正确的是(D)
A.$(2a+b)^{2}= 4a^{2}+b^{2}$
B.$(5x-2y)^{2}= 25x^{2}-10xy+4y^{2}$
C.$(\frac{1}{2}x-y)^{2}= \frac{1}{2}x^{2}-xy+y^{2}$
D.$(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})^{2}= \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}$

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的应用。
完全平方公式为：$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 和 $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$。
A. 对于 $(2a+b)^{2}$，应用完全平方公式得：$(2a+b)^{2} = 4a^{2} + 4ab + b^{2}$，与选项A给出的 $4a^{2}+b^{2}$ 不符，故A错误。
B. 对于 $(5x-2y)^{2}$，应用完全平方公式得：$(5x-2y)^{2} = 25x^{2} - 20xy + 4y^{2}$，与选项B给出的 $25x^{2}-10xy+4y^{2}$ 不符，故B错误。
C. 对于 $(\frac{1}{2}x-y)^{2}$，应用完全平方公式得：$(\frac{1}{2}x-y)^{2} = \frac{1}{4}x^{2} - xy + y^{2}$，与选项C给出的 $\frac{1}{2}x^{2}-xy+y^{2}$ 不符，故C错误。
D. 对于 $(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})^{2}$，应用完全平方公式得：$(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{4}x^{2} + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}$，与选项D给出的 $\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}$ 符合，故D正确。
【答案】：
D

例2 计算:
(1)$(x+y)(x-y)(x^{2}-y^{2});$
(2)$3(m+1)^{2}-5(m+1)(m-1)+2(m-1)^{2}.$
归纳：
要注意区分完全平方公式与平方差公式的结构特征,选择正确的公式进行计算.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式与平方差公式的运用。
(1) 对于第一个表达式，我们可以先运用平方差公式化简$(x+y)(x-y)$，然后再与$(x^{2}-y^{2})$相乘。
(2) 对于第二个表达式，我们需要先展开各个平方和乘积项，然后合并同类项。
【答案】：
(1) 解：
原式 = $(x+y)(x-y)(x^{2}-y^{2})$
= $(x^{2}-y^{2})(x^{2}-y^{2})$ （利用平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$）
= $(x^{2}-y^{2})^{2}$
= $x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}$ （利用完全平方公式：$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$）
(2) 解：
原式 = $3(m+1)^{2} - 5(m+1)(m-1) + 2(m-1)^{2}$
= $3(m^{2} + 2m + 1) - 5(m^{2} - 1) + 2(m^{2} - 2m + 1)$ （展开平方和乘积项）
= $3m^{2} + 6m + 3 - 5m^{2} + 5 + 2m^{2} - 4m + 2$ （分配律展开）
= $10 + 2m$ （合并同类项）

4.计算:
(1)$(x+1)(x-4)-(x-1)^{2};$
(2)$(x-3y)(3x+2y)-(2x-y)^{2}.$

答案：
(1)解：原式$=x^{2}-4x+x-4-(x^{2}-2x+1)$
$=x^{2}-3x-4-x^{2}+2x-1$
$=-x-5$
(2)解：原式$=3x^{2}+2xy-9xy-6y^{2}-(4x^{2}-4xy+y^{2})$
$=3x^{2}-7xy-6y^{2}-4x^{2}+4xy-y^{2}$
$=-x^{2}-3xy-7y^{2}$