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1.幂的乘方运算法则.
$(a^{m})^{n}= a^{mn}$(m,n都是正整数).
即幂的乘方,底数
2.幂的乘方法则的逆用.
$a^{mn}= (a^{m})^{n}= (a^{n})^{m}$(m,n是正整数).
注意：
(1)注意公式中的底数可以是单项式,也可是多项式.如:$[(x-y)^{2}]^{3}= (x-y)^{6},[(-x-y)^{3}]^{3}= -(x+y)^{9}.$
(2)注意$(a^{m})^{n}= a^{mn}与a^{m}\cdot a^{n}= a^{m+n}$的区别与联系:联系是两者底数均不变;区别是前者是指数相乘,后者是指数相加.
$(a^{m})^{n}= a^{mn}$(m,n都是正整数).
即幂的乘方,底数
不变
,指数相乘
.2.幂的乘方法则的逆用.
$a^{mn}= (a^{m})^{n}= (a^{n})^{m}$(m,n是正整数).
注意：
(1)注意公式中的底数可以是单项式,也可是多项式.如:$[(x-y)^{2}]^{3}= (x-y)^{6},[(-x-y)^{3}]^{3}= -(x+y)^{9}.$
(2)注意$(a^{m})^{n}= a^{mn}与a^{m}\cdot a^{n}= a^{m+n}$的区别与联系:联系是两者底数均不变;区别是前者是指数相乘,后者是指数相加.
答案：
【解析】：
本题主要考查幂的乘方运算法则及其逆用。
对于第一问，根据幂的乘方运算法则，即$(a^{m})^{n}= a^{mn}$（其中$m,n$都是正整数），我们可以知道，幂的乘方运算中，底数保持不变，而指数则进行相乘运算。
对于第二问，它考查了幂的乘方法则的逆用，即$a^{mn}= (a^{m})^{n}= (a^{n})^{m}$（其中$m,n$是正整数）。
同时，题目还提醒我们注意公式中的底数可以是单项式，也可以是多项式，并给出了具体的例子。
另外，题目还强调了幂的乘方与同底数幂的乘法之间的区别与联系。
【答案】：
1. 不变；相乘。
本题主要考查幂的乘方运算法则及其逆用。
对于第一问，根据幂的乘方运算法则，即$(a^{m})^{n}= a^{mn}$（其中$m,n$都是正整数），我们可以知道，幂的乘方运算中，底数保持不变，而指数则进行相乘运算。
对于第二问，它考查了幂的乘方法则的逆用，即$a^{mn}= (a^{m})^{n}= (a^{n})^{m}$（其中$m,n$是正整数）。
同时，题目还提醒我们注意公式中的底数可以是单项式，也可以是多项式，并给出了具体的例子。
另外，题目还强调了幂的乘方与同底数幂的乘法之间的区别与联系。
【答案】：
1. 不变；相乘。
例1 计算:
(1)$(10^{3})^{5};$
(2)$(-a^{4})^{4};$
(3)$(a^{m})^{2};$
(4)$[(-a)^{2}]^{3};$
(5)$[(-m-n)^{2}]^{3}\cdot [(m+n)^{3}]^{2};$
(6)$(-x^{3})^{4}+x\cdot x^{8}\cdot x^{3}-(-x^{2})\cdot (x^{5})^{2}.$
注意：
在一个题目中既有幂的乘方又有同底数幂相乘时,要先算幂的乘方,并要注意这两种运算的区别与联系:联系是两种运算的底数都不变;区别是前者是指数相乘,后者是指数相加.
(1)$(10^{3})^{5};$
(2)$(-a^{4})^{4};$
(3)$(a^{m})^{2};$
(4)$[(-a)^{2}]^{3};$
(5)$[(-m-n)^{2}]^{3}\cdot [(m+n)^{3}]^{2};$
(6)$(-x^{3})^{4}+x\cdot x^{8}\cdot x^{3}-(-x^{2})\cdot (x^{5})^{2}.$
注意：
在一个题目中既有幂的乘方又有同底数幂相乘时,要先算幂的乘方,并要注意这两种运算的区别与联系:联系是两种运算的底数都不变;区别是前者是指数相乘,后者是指数相加.
答案：
(1)解：$(10^{3})^{5}=10^{3×5}=10^{15}$
(2)解：$(-a^{4})^{4}=a^{4×4}=a^{16}$
(3)解：$(a^{m})^{2}=a^{m×2}=a^{2m}$
(4)解：$[(-a)^{2}]^{3}=(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$
(5)解：$[(-m-n)^{2}]^{3}\cdot [(m+n)^{3}]^{2}=(m+n)^{4×3}\cdot (m+n)^{3×2}=(m+n)^{12}\cdot (m+n)^{6}=(m+n)^{18}$
(6)解：$(-x^{3})^{4}+x\cdot x^{8}\cdot x^{3}-(-x^{2})\cdot (x^{5})^{2}=x^{12}+x^{12}+x^{12}=3x^{12}$
(1)解：$(10^{3})^{5}=10^{3×5}=10^{15}$
(2)解：$(-a^{4})^{4}=a^{4×4}=a^{16}$
(3)解：$(a^{m})^{2}=a^{m×2}=a^{2m}$
(4)解：$[(-a)^{2}]^{3}=(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$
(5)解：$[(-m-n)^{2}]^{3}\cdot [(m+n)^{3}]^{2}=(m+n)^{4×3}\cdot (m+n)^{3×2}=(m+n)^{12}\cdot (m+n)^{6}=(m+n)^{18}$
(6)解：$(-x^{3})^{4}+x\cdot x^{8}\cdot x^{3}-(-x^{2})\cdot (x^{5})^{2}=x^{12}+x^{12}+x^{12}=3x^{12}$
1.计算$(x^{5})^{2}$的结果是(
A.$x^{3}$
B.$x^{7}$
C.$x^{10}$
D.$x^{25}$
C
)A.$x^{3}$
B.$x^{7}$
C.$x^{10}$
D.$x^{25}$
答案：
解：根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，
可得$(x^5)^2 = x^{5×2} = x^{10}$。
答案：C
可得$(x^5)^2 = x^{5×2} = x^{10}$。
答案：C
2.下列计算正确的是(
A.$a^{3}+a^{3}= a^{6}$
B.$2a^{3}-a^{3}= 1$
C.$a^{2}\cdot a^{3}= a^{5}$
D.$(a^{2})^{3}= a^{5}$
C
)A.$a^{3}+a^{3}= a^{6}$
B.$2a^{3}-a^{3}= 1$
C.$a^{2}\cdot a^{3}= a^{5}$
D.$(a^{2})^{3}= a^{5}$
答案：
【解析】：
本题主要考察幂的运算法则，包括幂的加法、减法、乘法和幂的乘方。
A选项：$a^{3}+a^{3}$，根据幂的加法法则，同底数的幂相加，指数不变，系数相加，所以$a^{3}+a^{3}=2a^{3}$，与$a^{6}$不等，故A选项错误。
B选项：$2a^{3}-a^{3}$，根据幂的减法法则，同底数的幂相减，指数不变，系数相减，所以$2a^{3}-a^{3}=a^{3}$，与$1$不等，故B选项错误。
C选项：$a^{2}\cdot a^{3}$，根据幂的乘法法则，同底数的幂相乘，指数相加，所以$a^{2}\cdot a^{3}=a^{5}$，与题目中的$a^{5}$相等，故C选项正确。
D选项：$(a^{2})^{3}$，根据幂的乘方法则，幂的乘方，指数相乘，所以$(a^{2})^{3}=a^{6}$，与$a^{5}$不等，故D选项错误。
综上所述，只有C选项是正确的。
【答案】：
C
本题主要考察幂的运算法则，包括幂的加法、减法、乘法和幂的乘方。
A选项：$a^{3}+a^{3}$，根据幂的加法法则，同底数的幂相加，指数不变，系数相加，所以$a^{3}+a^{3}=2a^{3}$，与$a^{6}$不等，故A选项错误。
B选项：$2a^{3}-a^{3}$，根据幂的减法法则，同底数的幂相减，指数不变，系数相减，所以$2a^{3}-a^{3}=a^{3}$，与$1$不等，故B选项错误。
C选项：$a^{2}\cdot a^{3}$，根据幂的乘法法则，同底数的幂相乘，指数相加，所以$a^{2}\cdot a^{3}=a^{5}$，与题目中的$a^{5}$相等，故C选项正确。
D选项：$(a^{2})^{3}$，根据幂的乘方法则，幂的乘方，指数相乘，所以$(a^{2})^{3}=a^{6}$，与$a^{5}$不等，故D选项错误。
综上所述，只有C选项是正确的。
【答案】：
C
3.计算$(a^{2})^{3}-5a^{3}\cdot a^{3}$的结果的是(
A.$a^{5}-5a^{6}$
B.$a^{6}-5a^{9}$
C.$-4a^{6}$
D.$4a^{6}$
C
)A.$a^{5}-5a^{6}$
B.$a^{6}-5a^{9}$
C.$-4a^{6}$
D.$4a^{6}$
答案：
解：$(a^{2})^{3}-5a^{3}\cdot a^{3}$
$=a^{2×3}-5a^{3+3}$
$=a^{6}-5a^{6}$
$=-4a^{6}$
故选：C
$=a^{2×3}-5a^{3+3}$
$=a^{6}-5a^{6}$
$=-4a^{6}$
故选：C
4.计算:
(1)$(2^{3})^{4}=$
(2)$(-2^{3})^{3}=$
(3)$-(-a^{3})^{2}=$
(4)$(-a^{m})^{2}\cdot a=$
(1)$(2^{3})^{4}=$
4096
;(2)$(-2^{3})^{3}=$
-512
;(3)$-(-a^{3})^{2}=$
$-a^{6}$
;(4)$(-a^{m})^{2}\cdot a=$
$a^{2m+1}$
.
答案：
(1)解：$(2^{3})^{4}=2^{3×4}=2^{12}=4096$
(2)解：$(-2^{3})^{3}=-(2^{3})^{3}=-2^{3×3}=-2^{9}=-512$
(3)解：$-(-a^{3})^{2}=-(a^{3})^{2}=-a^{3×2}=-a^{6}$
(4)解：$(-a^{m})^{2}\cdot a=(a^{m})^{2}\cdot a=a^{2m}\cdot a=a^{2m+1}$
(1)解：$(2^{3})^{4}=2^{3×4}=2^{12}=4096$
(2)解：$(-2^{3})^{3}=-(2^{3})^{3}=-2^{3×3}=-2^{9}=-512$
(3)解：$-(-a^{3})^{2}=-(a^{3})^{2}=-a^{3×2}=-a^{6}$
(4)解：$(-a^{m})^{2}\cdot a=(a^{m})^{2}\cdot a=a^{2m}\cdot a=a^{2m+1}$
例2 填空:
(1)若$a^{2n}= 3$,则$a^{8n}= $
(2)若$2^{a}= 3,2^{b}= 5$,则$2^{3a+2b}= $
(3)若$3×9^{m-1}×27^{m}= 3^{14}$,则$m= $
(4)比较$2^{39},3^{26},4^{13}$的大小:
(1)若$a^{2n}= 3$,则$a^{8n}= $
81
;(2)若$2^{a}= 3,2^{b}= 5$,则$2^{3a+2b}= $
675
;(3)若$3×9^{m-1}×27^{m}= 3^{14}$,则$m= $
3
;(4)比较$2^{39},3^{26},4^{13}$的大小:
$4^{13}＜2^{39}＜3^{26}$
(用“＜”连接).
答案：
(1)解：因为$a^{2n}=3$，所以$a^{8n}=(a^{2n})^{4}=3^{4}=81$。
(2)解：因为$2^{a}=3$，$2^{b}=5$，所以$2^{3a+2b}=2^{3a}\cdot2^{2b}=(2^{a})^{3}\cdot(2^{b})^{2}=3^{3}×5^{2}=27×25=675$。
(3)解：$3×9^{m - 1}×27^{m}=3×(3^{2})^{m - 1}×(3^{3})^{m}=3×3^{2m - 2}×3^{3m}=3^{1 + 2m - 2 + 3m}=3^{5m - 1}$，因为$3×9^{m - 1}×27^{m}=3^{14}$，所以$5m - 1 = 14$，解得$m = 3$。
(4)解：$2^{39}=2^{3×13}=(2^{3})^{13}=8^{13}$，$3^{26}=3^{2×13}=(3^{2})^{13}=9^{13}$，因为$4^{13}=4^{13}$，且$4^{13}＜8^{13}＜9^{13}$，所以$4^{13}＜2^{39}＜3^{26}$。
(1)解：因为$a^{2n}=3$，所以$a^{8n}=(a^{2n})^{4}=3^{4}=81$。
(2)解：因为$2^{a}=3$，$2^{b}=5$，所以$2^{3a+2b}=2^{3a}\cdot2^{2b}=(2^{a})^{3}\cdot(2^{b})^{2}=3^{3}×5^{2}=27×25=675$。
(3)解：$3×9^{m - 1}×27^{m}=3×(3^{2})^{m - 1}×(3^{3})^{m}=3×3^{2m - 2}×3^{3m}=3^{1 + 2m - 2 + 3m}=3^{5m - 1}$，因为$3×9^{m - 1}×27^{m}=3^{14}$，所以$5m - 1 = 14$，解得$m = 3$。
(4)解：$2^{39}=2^{3×13}=(2^{3})^{13}=8^{13}$，$3^{26}=3^{2×13}=(3^{2})^{13}=9^{13}$，因为$4^{13}=4^{13}$，且$4^{13}＜8^{13}＜9^{13}$，所以$4^{13}＜2^{39}＜3^{26}$。
5.若$x^{2n}= 3$,则$(x^{3n})^{2}= $
27
.
答案：
解：$(x^{3n})^{2}=x^{6n}=(x^{2n})^{3}$
因为$x^{2n}=3$，所以原式$=3^{3}=27$
答案：27
因为$x^{2n}=3$，所以原式$=3^{3}=27$
答案：27
6.若$x^{m}\cdot x^{2m}= 2$,则$x^{9m}= $
8
.
答案：
【解析】：
根据题目给出的等式 $x^{m} \cdot x^{2m} = 2$，
首先应用同底数幂的乘法法则，即 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，得到 $x^{m+2m} = x^{3m} = 2$。
然后需要求 $x^{9m}$，可以应用幂的乘方法则，即 $(a^{m})^{n} = a^{m × n}$。
因为 $9m = 3 × 3m$，
所以 $x^{9m} = (x^{3m})^{3} = 2^{3} = 8$。
【答案】：
$x^{9m} = 8$。
根据题目给出的等式 $x^{m} \cdot x^{2m} = 2$，
首先应用同底数幂的乘法法则，即 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，得到 $x^{m+2m} = x^{3m} = 2$。
然后需要求 $x^{9m}$，可以应用幂的乘方法则，即 $(a^{m})^{n} = a^{m × n}$。
因为 $9m = 3 × 3m$，
所以 $x^{9m} = (x^{3m})^{3} = 2^{3} = 8$。
【答案】：
$x^{9m} = 8$。
7.若$a^{m}= 2,a^{n}= 3$,则$a^{2m+3n}= $
108
.
答案：
解：$a^{2m+3n}$
$=a^{2m} \cdot a^{3n}$
$=(a^{m})^{2} \cdot (a^{n})^{3}$
因为$a^{m}=2$，$a^{n}=3$，
所以原式$=2^{2} × 3^{3}$
$=4 × 27$
$=108$
故答案为：108
$=a^{2m} \cdot a^{3n}$
$=(a^{m})^{2} \cdot (a^{n})^{3}$
因为$a^{m}=2$，$a^{n}=3$，
所以原式$=2^{2} × 3^{3}$
$=4 × 27$
$=108$
故答案为：108
1.积的乘方,等于把积的每一个因式
$(ab)^n= a^nb^n$(n 为正整数).
分别乘方
,再把所得的幂相乘
.$(ab)^n= a^nb^n$(n 为正整数).
答案：
【解析】：
这道题目考查了积的乘方的性质。积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。这是幂运算的一个重要性质。根据这个性质，我们可以将$(ab)^n$分解为$a^nb^n$的形式，其中$n$为正整数。
【答案】：
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
这道题目考查了积的乘方的性质。积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。这是幂运算的一个重要性质。根据这个性质，我们可以将$(ab)^n$分解为$a^nb^n$的形式，其中$n$为正整数。
【答案】：
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
2.积的乘方法则的推广:$(abc)^n=$
注意:
(1)公式中的a,b可以是单个字母或单(多)项式,如:$[(a+b)(a-b)]^2= (a+b)^2(a-b)^2$;
(2)掌握积的乘方的逆向运用:$a^nb^n= (ab)^n$(n 是正整数).
$a^{n}b^{n}c^{n}$
.注意:
(1)公式中的a,b可以是单个字母或单(多)项式,如:$[(a+b)(a-b)]^2= (a+b)^2(a-b)^2$;
(2)掌握积的乘方的逆向运用:$a^nb^n= (ab)^n$(n 是正整数).
答案：
$a^{n}b^{n}c^{n}$
例1 计算:
(1)$(2a)^3$;
(2)$(-5b)^3$;
(3)$(xy^2)^2$;
(4)$(-2x^3)^4$;
(5)$(-2x^2y)^3$;
(6)$(3×10^2)^2·(2×10^4)^3$;
(7)$m^7·m^5+(-m^3)^4-(-2m^4)^3$;
(8)$(-3a^3)^2-3a^5·a-(-2a^2)^3$.
分析:注意运算顺序,先算乘方,再算乘法,最后算加减;当算式中有负号时,要先确定出结果的符号,再进行计算.
(1)$(2a)^3$;
(2)$(-5b)^3$;
(3)$(xy^2)^2$;
(4)$(-2x^3)^4$;
(5)$(-2x^2y)^3$;
(6)$(3×10^2)^2·(2×10^4)^3$;
(7)$m^7·m^5+(-m^3)^4-(-2m^4)^3$;
(8)$(-3a^3)^2-3a^5·a-(-2a^2)^3$.
分析:注意运算顺序,先算乘方,再算乘法,最后算加减;当算式中有负号时,要先确定出结果的符号,再进行计算.
答案：
(1)解：$(2a)^3=2^3·a^3=8a^3$
(2)解：$(-5b)^3=(-5)^3·b^3=-125b^3$
(3)解：$(xy^2)^2=x^2·(y^2)^2=x^2y^4$
(4)解：$(-2x^3)^4=(-2)^4·(x^3)^4=16x^{12}$
(5)解：$(-2x^2y)^3=(-2)^3·(x^2)^3·y^3=-8x^6y^3$
(6)解：$(3×10^2)^2·(2×10^4)^3=3^2×(10^2)^2×2^3×(10^4)^3=9×10^4×8×10^{12}=72×10^{16}=7.2×10^{17}$
(7)解：$m^7·m^5+(-m^3)^4-(-2m^4)^3=m^{12}+m^{12}-(-8m^{12})=m^{12}+m^{12}+8m^{12}=10m^{12}$
(8)解：$(-3a^3)^2-3a^5·a-(-2a^2)^3=9a^6-3a^6-(-8a^6)=9a^6-3a^6+8a^6=14a^6$
(1)解：$(2a)^3=2^3·a^3=8a^3$
(2)解：$(-5b)^3=(-5)^3·b^3=-125b^3$
(3)解：$(xy^2)^2=x^2·(y^2)^2=x^2y^4$
(4)解：$(-2x^3)^4=(-2)^4·(x^3)^4=16x^{12}$
(5)解：$(-2x^2y)^3=(-2)^3·(x^2)^3·y^3=-8x^6y^3$
(6)解：$(3×10^2)^2·(2×10^4)^3=3^2×(10^2)^2×2^3×(10^4)^3=9×10^4×8×10^{12}=72×10^{16}=7.2×10^{17}$
(7)解：$m^7·m^5+(-m^3)^4-(-2m^4)^3=m^{12}+m^{12}-(-8m^{12})=m^{12}+m^{12}+8m^{12}=10m^{12}$
(8)解：$(-3a^3)^2-3a^5·a-(-2a^2)^3=9a^6-3a^6-(-8a^6)=9a^6-3a^6+8a^6=14a^6$
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