《2025年巅峰对决八年级数学上册人教版》

例1 利用平方差公式计算：
(1)$(xy+1)(xy-1)$； (2)$(a+3b)(a-3b)$；
(3)$(x-2y)(-2y-x)$； (4)$(3+2a)(2a-3)$；
(5)$(-5m-3n)(5m-3n)$；
(6)$(-2x^{2}+1)(-2x^{2}-1)$.
归纳：
运用平方差公式的条件：两项乘两项,一项相同,另一项互为相反数.其结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方差公式的应用。平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两项乘两项，一项相同，另一项互为相反数，其结果是相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
(1) 对于$(xy+1)(xy-1)$，可以看作是$a=xy$，$b=1$的形式，所以应用平方差公式得到：
原式$= (xy)^2 - 1^2 = x^2y^2 - 1$。
(2) 对于$(a+3b)(a-3b)$，可以看作是$a=a$，$b=3b$的形式，所以应用平方差公式得到：
原式$= a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2$。
(3) 对于$(x-2y)(-2y-x)$，调整顺序后可以看作是$a=-2y$，$b=x$的形式，所以应用平方差公式得到：
原式$= (-2y)^2 - x^2 = 4y^2 - x^2$。
(4) 对于$(3+2a)(2a-3)$，可以看作是$a=2a$，$b=3$的形式，所以应用平方差公式得到：
原式$= (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$。
(5) 对于$(-5m-3n)(5m-3n)$，可以看作是$a=-3n$，$b=5m$的形式，所以应用平方差公式得到：
原式$= (-3n)^2 - (5m)^2 = 9n^2 - 25m^2$。
(6) 对于$(-2x^2+1)(-2x^2-1)$，可以看作是$a=-2x^2$，$b=1$的形式，所以应用平方差公式得到：
原式$= (-2x^2)^2 - 1^2 = 4x^4 - 1$。
【答案】：
(1) $x^2y^2 - 1$
(2) $a^2 - 9b^2$
(3) $4y^2 - x^2$
(4) $4a^2 - 9$
(5) $9n^2 - 25m^2$
(6) $4x^4 - 1$

1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(C)
A.$(-a+b)(a-b)$
B.$(x+2)(2+x)$
C.$(\frac{1}{3}x+y)(y-\frac{1}{3}x)$
D.$(x-2)(x+1)$

答案： 解：平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，其特点是两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数。
A选项$(-a + b)(a - b)=-(a - b)(a - b)=-(a - b)^2$，两项都互为相反数，不符合平方差公式。
B选项$(x + 2)(2 + x)=(x + 2)^2$，两项完全相同，不符合平方差公式。
C选项$(\frac{1}{3}x + y)(y - \frac{1}{3}x)=(y + \frac{1}{3}x)(y - \frac{1}{3}x)$，$y$完全相同，$\frac{1}{3}x$与$-\frac{1}{3}x$互为相反数，符合平方差公式。
D选项$(x - 2)(x + 1)$，两项既不完全相同也不互为相反数，不符合平方差公式。
答案：C

2.若$M\cdot (2x-3y)= 9y^{2}-4x^{2}$,则$M=$(C)
A.$2x+3y$
B.$-2x+3y$
C.$-2x-3y$
D.$2x-3y$

答案： 【解析】：
本题考察的是平方差公式的应用。
首先，我们观察右侧的$9y^{2} - 4x^{2}$，这是一个平方差的形式，可以表示为$(3y)^{2} - (2x)^{2}$。
根据平方差公式，$a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$，所以，
$(3y)^{2} - (2x)^{2} = (3y + 2x)(3y - 2x)$
为了得到$M$，我们需要将上述表达式与$2x - 3y$相匹配。注意到$3y - 2x = -(2x - 3y)$，所以，
$M = \frac{(3y + 2x)(3y - 2x)}{2x - 3y} = \frac{-(3y + 2x)(2x - 3y)}{2x - 3y} = - (2x + 3y) = - 2x - 3y$
【答案】：
C. $- 2x - 3y$

例2 计算：
(1)$(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)$；
(2)$(x+3)(x^{2}+9)(x-3)$；
(3)$102×98$；
(4)$2024^{2}-2025×2023$
注意：
在运用平方差公式之前要仔细分析所给式子的结构：两个括号内的多项式项数相同,并且恰好有一部分项相同,而剩余的项互为相反数.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式的运用以及代数式的化简。
(1) 对于 $(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)$，可以先运用平方差公式化简每一项，然后再进行相减。
(2) 对于 $(x+3)(x^{2}+9)(x-3)$，可以先运用平方差公式化简 $(x+3)(x-3)$，然后再与 $x^{2}+9$ 相乘。
(3) 对于 $102×98$，可以将其看作 $(100+2)(100-2)$，然后运用平方差公式进行化简。
(4) 对于 $2024^{2}-2025×2023$，可以先将 $2025×2023$ 看作 $(2024+1)(2024-1)$，然后运用平方差公式进行化简，再与 $2024^{2}$ 进行相减。
【答案】：
(1)
解：
原式
$= (3x+4)(3x-4) - (2x+3)(3x-2)$
$= 9x^{2} - 16 - (6x^{2} + 5x - 6)$
$= 9x^{2} - 16 - 6x^{2} - 5x + 6$
$= 3x^{2} - 5x - 10$
(2)
解：
原式
$= (x+3)(x^{2}+9)(x-3)$
$= (x^{2} - 9)(x^{2} + 9)$
$= x^{4} - 81$
(3)
解：
原式
$= 102 × 98$
$= (100 + 2)(100 - 2)$
$= 100^{2} - 2^{2}$
$= 10000 - 4$
$= 9996$
(4)
解：
原式
$= 2024^{2} - 2025 × 2023$
$= 2024^{2} - (2024 + 1)(2024 - 1)$
$= 2024^{2} - (2024^{2} - 1)$
$= 1$

3.下列各式的计算正确的是(A)
A.$(-7y-1)(-7y+1)= 49y^{2}-1$
B.$(x+7)(x-7)= x^{2}-14$
C.$(x+6)(x-5)= x^{2}-30$
D.$(-3x+2)(3x-2)= 9x^{2}-4$

答案： 解：
A. $(-7y-1)(-7y+1)=(-7y)^2 - 1^2 = 49y^2 - 1$，正确。
B. $(x+7)(x-7)=x^2 - 7^2 = x^2 - 49$，原计算错误。
C. $(x+6)(x-5)=x^2 - 5x + 6x - 30 = x^2 + x - 30$，原计算错误。
D. $(-3x+2)(3x-2)=-(3x - 2)^2 = -9x^2 + 12x - 4$，原计算错误。
结论：A

4.若$(x+3)(x-3)= 55$,则x的值为(C)
A.8
B.-8
C.$\pm 8$
D.6或8

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式的应用以及一元二次方程的解法。
首先，根据平方差公式，我们有：
$(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$
由题意，这个表达式等于55，所以我们得到方程：
$x^2 - 9 = 55$
移项得：
$x^2 = 64$
接下来，我们对方程两边同时开平方，得到：
$x = \pm 8$
【答案】：
C. $\pm 8$

5.对于任意整数n,能整除式子$(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)$的整数是(C)
A.4
B.3
C.5
D.2

答案： 解：
$\begin{aligned}&(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)\\=&(n^2 - 9) - (n^2 - 4)\\=&n^2 - 9 - n^2 + 4\\=&-5\end{aligned}$
因为结果为$-5$，所以能整除$-5$的整数是$5$。
答案：C

6.计算：
(1)$(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})=$$a^{4}-b^{4}$；
(2)$19\frac{3}{4}×20\frac{1}{4}=$$399\frac{15}{16}$.

答案：
(1)解：$(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})$
$=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$
$=a^{4}-b^{4}$
(2)解：$19\frac{3}{4}×20\frac{1}{4}$
$=(20-\frac{1}{4})(20+\frac{1}{4})$
$=20^{2}-(\frac{1}{4})^{2}$
$=400-\frac{1}{16}$
$=399\frac{15}{16}$

例3 先化简,再求值：$(x+y)(x-y)-(4x^{3}y-8xy^{3})÷2xy$,其中$x= -1,y= \frac{1}{3}$.
分析：要严格按照题目要求先化简,再求值；注意运算顺序,能使用公式的尽量用公式简化运算；在代值时,遇到负数、分数或无理数形式的数的乘方要使用括号.

答案： 【解析】：
本题考查了平方差公式以及多项式除以单项式的运算。
首先，我们利用平方差公式将$(x+y)(x-y)$化简为$x^{2} - y^{2}$。
接着，处理$(4x^{3}y-8xy^{3})÷2xy$这一部分。我们可以将其拆分为$\frac{4x^{3}y}{2xy} - \frac{8xy^{3}}{2xy}$，化简得到$2x^{2} - 4y^{2}$。
因此，原式可以化简为$x^{2} - y^{2} - (2x^{2} - 4y^{2})$，进一步化简得到$- x^{2} + 3y^{2}$。
最后，将$x = -1$和$y = \frac{1}{3}$代入化简后的式子，即可求出答案。
【答案】：
解：原式
$= (x+y)(x-y) - (4x^{3}y-8xy^{3})÷2xy$
$= x^{2} - y^{2} - (2x^{2} - 4y^{2})$
$= x^{2} - y^{2} - 2x^{2} + 4y^{2}$
$= - x^{2} + 3y^{2}$
当$x = -1$，$y = \frac{1}{3}$时，
原式$= - (-1)^{2} + 3 × (\frac{1}{3})^{2}$
$= - 1 + 3 × \frac{1}{9}$
$= - 1 + \frac{1}{3}$
$= - \frac{2}{3}$

7.化简：$(2x-y)(y+2x)-y(x-y)-(2x)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方差公式、单项式乘多项式的运算以及合并同类项。
首先，我们可以利用平方差公式来化简$(2x-y)(y+2x)$，得到$(2x)^{2} - y^{2}$，即$4x^{2} - y^{2}$。
接着，我们来处理$-y(x-y)$，根据单项式乘多项式的规则，我们得到$-xy + y^{2}$。
然后，我们计算$-(2x)^{2}$，得到$-4x^{2}$。
最后，我们将上述三部分的结果进行合并同类项，即：$(4x^{2} - y^{2}) + (-xy + y^{2}) + (-4x^{2}) = -xy$。
【答案】：
解：原式
$= (2x-y)(y+2x) - y(x-y) - (2x)^{2}$
$= 4x^{2} - y^{2} - xy + y^{2} - 4x^{2}$
$= -xy$。

8.化简：$(1-2m)(2m+1)-(3+4m)(6-m)$.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方差公式以及多项式乘法的运算。
首先，我们可以利用平方差公式来化简第一部分：$(1-2m)(2m+1)$，根据$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可以得到$(1-2m)(2m+1) = 1 - (2m)^2 = 1 - 4m^2$。
接着，我们处理第二部分：$(3+4m)(6-m)$，进行多项式乘法，得到$3 × 6 + 3 × (-m) + 4m × 6 + 4m × (-m) = 18 - 3m + 24m - 4m^2 = 18 + 21m - 4m^2$。
最后，我们将两部分相减，即：$(1 - 4m^2) - (18 + 21m - 4m^2) = 1 - 4m^2 - 18 - 21m + 4m^2 = -21m - 17$。
【答案】：
解：原式
$= (1 - 4m^2) - (18 + 21m - 4m^2)$
$= 1 - 4m^2 - 18 - 21m + 4m^2$
$= - 21m - 17$
∴ 原式 $= - 21m - 17$。