《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

4. 如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具,木条a,b,c在同一平面内,经测量$∠1= 70^{\circ }$,要使木条$a// b$,则$∠2$的度数应为(C)

A. $20^{\circ }$
B. $70^{\circ }$
C. $110^{\circ }$
D. $160^{\circ }$

答案： C

5. 下列图形中,由$∠1= ∠2$,能得到$AB// CD$的是(D)

答案： D

6. 如图,一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中$∠1= 50^{\circ },∠2= 50^{\circ },∠3= 130^{\circ }$,找出图中的平行线OA//BC，OB//AC,并说明理由。

理由：$ \because \angle 1 = 50 ^ { \circ } $,$ \angle 2 = 50 ^ { \circ } $,$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $,$ \therefore OB // AC $,$ \because \angle 2 = 50 ^ { \circ } $,$ \angle 3 = 130 ^ { \circ } $,$ \therefore \angle 2 + \angle 3 = 180 ^ { \circ } $,$ \therefore OA // BC $。

答案： 解:$ OA // BC $,$ OB // AC $。
$ \because \angle 1 = 50 ^ { \circ } $,$ \angle 2 = 50 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $,
$ \therefore OB // AC $,
$ \because \angle 2 = 50 ^ { \circ } $,$ \angle 3 = 130 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle 2 + \angle 3 = 180 ^ { \circ } $,
$ \therefore OA // BC $。

7. 如图,$∠ABC= ∠ADC$,BE,DF分别是$∠ABC,∠ADC$的角平分线,且$∠2= ∠3$,求证:$BC// AD$。
证明:$ \because BE $,$ DF $分别是$ \angle ABC $和$ \angle ADC $的平分线,
$ \therefore \angle 1 = \frac { 1 } { 2 } \angle ABC $,$ \angle 2 = \frac { 1 } { 2 } \angle ADC $,
$ \because \angle ABC = \angle ADC $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $,
$ \because \angle 2 = \angle 3 $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 3 $,
$ \therefore BC // AD $。

答案： 证明:$ \because BE $,$ DF $分别是$ \angle ABC $和$ \angle ADC $的平分线,
$ \therefore \angle 1 = \frac { 1 } { 2 } \angle ABC $,$ \angle 2 = \frac { 1 } { 2 } \angle ADC $,
$ \because \angle ABC = \angle ADC $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $,
$ \because \angle 2 = \angle 3 $,
$ \therefore \angle 1 = \angle 3 $,
$ \therefore BC // AD $。

8. 如图,下列条件中,能判定$DE// AC$的是(C)

A. $∠EDC= ∠EFC$
B. $∠AFE= ∠ACD$
C. $∠3= ∠4$
D. $∠1= ∠2$

答案： C

9. 综合与实践
学习完《平行线的证明》,我们积累了一定的研究经验,李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起,其中$∠A= ∠B= 45^{\circ },$$∠D= 30^{\circ },∠E= 60^{\circ }$。
(1)操作判断
若$∠DCB= 55^{\circ }$,则$∠ACE= $$125^{\circ }$;若$∠ACE= 158^{\circ }$,则$∠DCB= $$22^{\circ }$;
(2)性质探究
由(1)猜想$∠ACE与∠DCB$的数量关系,并证明你的猜想;
(3)拓展应用
当$∠BCE＜180^{\circ }$且点B在直线CE的上方时,这两个三角尺存在一组边互相平行,请直接写出$∠BCE$所有可能的度数(不必说明理由)。
$30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$120^{\circ }$、$135^{\circ }$、$165^{\circ }$

答案： 解:
(1)$ \because \angle DCB = 55 ^ { \circ } $,$ \angle ACB = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle ACD = 35 ^ { \circ } $,
$ \because \angle DCE = 90 ^ { \circ } $,
$ \therefore \angle ACE = 90 ^ { \circ } + 35 ^ { \circ } = 125 ^ { \circ } $;
$ \because \angle ACD = \angle ACE - 90 ^ { \circ } = 158 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 68 ^ { \circ } $,
$ \angle DCB = 90 ^ { \circ } - 68 ^ { \circ } = 22 ^ { \circ } $。
故答案为:$ 125 ^ { \circ } $,$ 22 ^ { \circ } $。
(2)猜想:$ \angle ACE + \angle DCB = 180 ^ { \circ } $。
理由如下:$ \because \angle ACD = 90 ^ { \circ } - \angle DCB $,
又$ \because \angle BCE = 90 ^ { \circ } - \angle DCB $,
$ \therefore \angle ACE = \angle ACD + \angle BCE + \angle DCB $
$ = 90 ^ { \circ } - \angle DCB + 90 ^ { \circ } - \angle DCB + \angle DCB $
$ = 180 ^ { \circ } - \angle DCB $,
即$ \angle ACE + \angle DCB = 180 ^ { \circ } $。
(3)存在,$ 30 ^ { \circ } $、$ 45 ^ { \circ } $、$ 120 ^ { \circ } $、$ 135 ^ { \circ } $、$ 165 ^ { \circ } $。
理由:当$ CB // DE $时,$ \angle BCE = 120 ^ { \circ } $;
当$ AC // DE $时,$ \angle BCE = 30 ^ { \circ } $;
当$ AB // DE $时,$ \angle BCE = 165 ^ { \circ } $;
当$ AB // CD $时,$ \angle BCE = 135 ^ { \circ } $;
当$ AB // CE $时,$ \angle BCE = 45 ^ { \circ } $。