《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

4. 直角三角形的边长分别为a,b,c,且$∠C= 90^{\circ }$,若$a^{2}= 9,b^{2}= 16$,那么$c^{2}$的值是(C)
A. 5
B. 7
C. 25
D. 49

答案： C

5. 如图,以阴影三角形的三边为边向外作正方形,则阴影部分的面积为(C)

A. 3
B. 9
C. 54
D. 81

答案： C

6. 如图,在四边形ABCD中,$∠BAD= 90^{\circ },∠DBC= 90^{\circ }$,若$AD= 4,AB= 3,BC= 12$,则CD的长为(B)

A. 5
B. 13
C. 17
D. 18

答案： B

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$。
(1)若$AC= 5,BC= 12$,求AB的长;13
(2)若$AB= 25,BC= 20$,求AC的长。15

答案： 解:
(1)因为$AC=5,BC=12,$
所以$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169=13^{2},$
所以$AB=13;$
(2)因为$AB=25,BC=20,$
所以$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=25^{2}-20^{2}=225=15^{2},$
所以$AC=15$。

8.【考试热点·阅读理解题】请阅读下面文字并完成相关任务。
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,在我国,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以验证勾股定理。思路是:大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,从而得到等式$c^{2}= \frac {1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$,化简得$a^{2}+b^{2}= c^{2}$。这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”。请你用“双求法”解决下面问题：
(1)如图2,在$\triangle ABC$中,AD是BC边上的高,$AB= 4,AC= 5,BC= 6$,设$BD= x$,求x的值。
解:因为AD是BC边上的高,
所以$AD⊥BC,$
因为$AB=4,AC=5,BC=6,BD=x,$
所以$CD=BC-BD=6-x,$
在$Rt△ABD$和$Rt△ACD$中,由勾股定理得:$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2},$
即$4^{2}-x^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$,整理可得$12x=27,$
所以$x=$$\frac {9}{4}$;
(2)如图3,如果大正方形的面积为18,直角三角形中较短直角边长为a,较长直角边长为b,且$a^{2}+b^{2}= ab+10$,则小正方形的面积为多少?
解:设大正方形的边长为c,
根据题意,$c^{2}=18,$
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}=18,$
因为$a^{2}+b^{2}=ab+10,$
所以$ab=8,$
又因为小正方形的边长为:$b-a,$
所以$(b-a)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=18-2×8=2,$
即小正方形的面积为2;
(3)勾股定理本身及其验证和应用过程体现的重要数学思想是D;
A. 函数思想
B. 整体思想
C. 分类讨论思想
D. 数形结合思想
(4)请借助图4,利用“双求法”验证勾股定理。
证明:$S_{梯形}=\frac {1}{2}(a+b)\cdot (a+b)=\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}+ab,$
梯形的面积又可表示为:$S_{梯形}=\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}c^{2}+ab,$
所以$\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}+ab=\frac {1}{2}c^{2}+ab,$
即$a^{2}+b^{2}=c^{2},$
所以直角三角形的三边满足此关系式,其中c为斜边,a,b为直角边。

答案：
(1)解:因为AD是BC边上的高,
所以$AD⊥BC,$
因为$AB=4,AC=5,BC=6,BD=x,$
所以$CD=BC-BD=6-x,$
在$Rt△ABD$和$Rt△ACD$中,由勾股定理得:$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2},$
即$4^{2}-x^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}$,整理可得$12x=27,$
所以$x=\frac {9}{4};$
(2)解:设大正方形的边长为c,
根据题意,$c^{2}=18,$
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}=18,$
因为$a^{2}+b^{2}=ab+10,$
所以$ab=8,$
又因为小正方形的边长为:$b-a,$
所以$(b-a)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=18-2×8=2,$
即小正方形的面积为2;
(3)D
(4)证明:$S_{梯形}=\frac {1}{2}(a+b)\cdot (a+b)=\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}+ab,$
梯形的面积又可表示为:$S_{梯形}=\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}c^{2}+\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}c^{2}+ab,$
所以$\frac {1}{2}a^{2}+\frac {1}{2}b^{2}+ab=\frac {1}{2}c^{2}+ab,$
即$a^{2}+b^{2}=c^{2},$
所以直角三角形的三边满足此关系式,其中c为斜边,a,b为直角边。