《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,如果$AB= 8$,$BC= 12$,$\triangle ABD的面积为16$,则$\triangle CBD$的面积为______.

答案： 24

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$S_{\triangle ABC}= 21$,$\angle BAC的平分线AD交BC于点D$,点$E为AD$的中点.连接$BE$,点$F为BE$上一点,且$BF= 2EF$.若$S_{\triangle DEF}= 2$,则$AB:AC= $______.

答案： 4:3

8. 如图,$CD为\text{Rt}\triangle ABC$斜边上的高,$\angle BAC的平分线分别交CD$,$BC于点E$,$F$,$FG\perp AB$,垂足为点$G$.
(1)求证:$CE= FG$;
(2)若$AC= 12$,$AB= 15$,$CE= 4$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)证明:
∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB=90°,FG⊥AB,
　
∴FC=FG,∠CAF=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,
　　∠CAF+∠CFA=90°,∠DAE+∠AED=90°,
　
∴∠AED=∠AFC,
　
∵∠AED=∠CEF,
　
∴∠CEF=∠AFC,
　
∴CE=CF,
　
∴CE=FG.
(2)解:
∵CE=4,
　
∴FG=CF=CE=4,
　
∵AC=12,AB=15,
　
∴S△ABC=S△ACF+S△ABF=$\frac{1}{2}$AC·CF+$\frac{1}{2}$AB·FG =$\frac{1}{2}$×12×4+$\frac{1}{2}$×15×4=54,
　　所以△ABC的面积为54.

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$\angle C= 90^{\circ}$,$DE\perp AB$,垂足为$E$,点$F在AC$上,$BD= DF$.
(1)求证:$CF= EB$;
(2)若$AB= 12$,$AF= 8$,求$CF$的长.

答案：

(1)证明:
∵AD平分∠BAC,∠C =90°,DE⊥AB于E,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴DE=DC.
　　在Rt△CDF与Rt△EDB中，
　　$ \left\{ \begin{array} { l } { D F = D B } \\ { D C = D E } \end{array} \right. $
　
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
　
∴CF=EB.
(2)解:设CF=x,则AE=12−x，
　
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
　
∴CD=DE.
　　在Rt△ACD与Rt△AED中，
　　$ \left\{ \begin{array} { l } { A D = A D } \\ { C D = D E } \end{array} \right. $
　
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
　
∴AC=AE,即8+x=12−x,
　　解得x=2,即CF=2.

10. 【新情境】
图$1$是一个平分角的仪器,其中$OD= OE$,$FD= FE$.

(1)如图$2$,将仪器放置在$\triangle ABC$上,使点$O与顶点A$重合,$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,沿$AF画一条射线AP$,交$BC于点P$.$AP是\angle BAC$的平分线吗? 请判断并说明理由;
(2)如图$3$,在(1)的条件下,过点$P作PQ\perp AB于点Q$,若$PQ= 4$,$AC= 6$,求$\triangle APC$的面积.

答案：
解:
(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下:
　　在△ADF和△AEF中，
　　$ \left\{ \begin{array} { l } { A D = A E } \\ { A F = A F } \\ { D F = E F } \end{array} \right. $
　
∴△ADF≌△AEF(SSS),
　
∴∠DAF=∠EAF,
　
∴AP平分∠BAC;
(2)如图，过点P作PM⊥AC于点M，
　　　　　　　
　
∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
　
∴PM=PQ=4,
　
∴S△APC=$\frac{1}{2}$AC·PM=$\frac{1}{2}$×6×4=12.