《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

1. 如图,AD 与 BC 相交于点 O,OA = OC,∠A = ∠C,BE = DE.
(1) 求证：OB = OD；
(2) OE 垂直平分 BD.

答案： 证明：
(1) 在$\triangle AOB$与$\triangle COD$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle A=\angle C\\ OA=OC\\ \angle AOB=\angle COD\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle COD(ASA)$，
$\therefore OB=OD$；
(2) 由
(1)得$\triangle AOB \cong \triangle COD$，
$\therefore OB=OD$，
$\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上，
$\because BE=DE$，
$\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上，
$\therefore OE$垂直平分$BD$。

2. 如图,在四边形 ABCD 中,点 E 是边 BC 上一点,BE = CD,∠B = ∠AED = ∠C.
(1) 求证：∠EAD = ∠EDA；
(2) 若∠C = 60°,AE = 4,求△AED 的面积.

答案：
(1) 证明：$\because \angle B=\angle AED=\angle C,\angle AEC=\angle B+\angle BAE=\angle AED+\angle CED$，
$\therefore \angle BAE=\angle CED$，
在$\triangle ABE$和$\triangle ECD$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle BAE=\angle CED\\ \angle B=\angle C\\ BE=CD\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ECD(AAS)$，
$\therefore AE=ED$，
$\therefore \angle EAD=\angle EDA$；
(2) 解：由
(1)知$\angle EAD=\angle EDA$，
$\therefore AE=ED$，
$\because \angle AED=\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AED$为等边三角形，
$\therefore AE=AD=ED=4$，
过$A$点作$AF \perp ED$于$F$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}ED=2$，
$\therefore AF=\sqrt{AE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}ED \cdot AF=\frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。

3. 如图,AC 是平行四边形 ABCD 的对角线,E,H 分别为边 BA 和边 BC 延长线上的点,连接 EH 交 AD,CD 于点 F,G,且 EH // AC.
(1) 求证：EG = FH；
(2) 若△ACD 是等腰直角三角形,∠ACD = 90°,F 是 AD 的中点,AD = 4,连接 BF,求 BF 的长.

答案：

(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC,AB // CD$，
$\because AC // EH$，
$\therefore$ 四边形$ACHF$是平行四边形，四边形$ACGE$是平行四边形，
$\therefore AC=HF,AC=EG$，
$\therefore FH=EG$，
$\therefore EG=FH$；
(2) 解：连接$CF$，如图，
$\because CA=CD,\angle ACD=90^{\circ},AF=DF$，
$\therefore CF \perp AD$，
$\because AD // BC$，
$\therefore CF \perp BC$，
$\therefore \angle BCF=90^{\circ}$，
$\because BC=AD=4,CF=\frac{1}{2}AD=2$，
$\therefore BF=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$。

4. 如图,AD 是△ABC 中 BC 边上的中线,BF 与 AD 相交于点 E,且 BE = EF,AF // BC.
(1) 求证：四边形 ADCF 为平行四边形；
(2) 若 DA = DC = 3,AC = 4,求△ABC 的面积.

答案：
(1) 证明：$\because AF // BC$，
$\therefore \angle AFE=\angle DBE$，
又$\because FE=BE,\angle AEF=\angle DEB$，
$\therefore \triangle AEF \cong \triangle DEB(ASA)$，
$\therefore AF=DB$，
$\because AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的中线，
$\therefore DB=DC$，
$\therefore AF=DC$，
$\therefore$ 四边形$ADCF$为平行四边形；
(2) 解：$\because DA=DC=3,DB=DC$，
$\therefore DA=DC=DB=\frac{1}{2}BC,BC=6$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot AC=\frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times 4=4\sqrt{5}$。