《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

考点三:公式法
1. 下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是 ()
A. $a^{2}+1$
B. $a^{2}-6a + 9$
C. $x^{3}+x$
D. $a^{2}-4$

答案： D

2. 若$x^{2}+ax + 6= (x - 2)(x + b)$,则$a - b$的值为 ()
A. $1$
B. $-2$
C. $5$
D. $-8$

答案： B

3. 若$a = 4 + b,ab = 3$,则$-a^{3}b + 2a^{2}b^{2}-ab^{3}$的值为 ()
A. $-48$
B. $-12$
C. $-36$
D. $12$

答案： A

4. 将几个图形拼成一个新图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,例如,由图1可得等式$x^{2}+(p + q)x+pq= (x + p)(x + q)$. 将若干张图2所示的卡片进行拼图,可以将二次三项式$a^{2}+3ab + 2b^{2}$分解因式为 ()

A. $(a + b)(2a + b)$
B. $(a + 2b)(3a + b)$
C. $(a + b)(a + 2b)$
D. $(a + b)(a + 3b)$

答案： C

5. 下列因式分解正确的是 ()
A. $-x^{2}+y^{2}= (x + y)(x - y)$
B. $a^{3}+2a^{2}b + ab^{2}= a(a + b)^{2}$
C. $x^{2}-2x + 4= (x - 1)^{2}+3$
D. $ax^{2}-9= a(x + 3)(x - 3)$

答案： B

6. 小李是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条明码信息:$a - 1,m - n,5,m^{2}+1,a,a + 1,m + n$分别依次对应七个字:之,桥,天,中,眼,空,国,现将$5m(a^{2}-1)-5n(a^{2}-1)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ()
A. 天空之桥
B. 中国天眼
C. 中国天空
D. 天眼之桥

答案： A

7. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”. 如$8= 3^{2}-1^{2},16= 5^{2}-3^{2}$,即$8,16$均为“和谐数”. 在不超过$100$的正整数中,所有“和谐数”之和等于 ()
A. $614$
B. $624$
C. $634$
D. $642$

答案： C

8. 已知$d= x^{4}-2x^{3}+x^{2}-12x - 5$,则当$x^{2}-2x - 5 = 0$时,$d$的值为 ()
A. $25$
B. $20$
C. $15$
D. $10$

答案： B

9. 分解因式:$m^{2}-4= $____.

答案： $ (m+2)(m-2) $

10. 分解因式:$xy^{2}+4xy + 4x= $____.

答案： $ x(y+2)^{2} $

11. 分解因式:$-4a^{3}b^{3}+ab= $____.

答案： $ a b(1+2 a b)(1-2 a b) $

12. 若$x - y = 2,x + y = 6$,则$x^{2}-y^{2}= $____.

答案： 12

13. 分解因式:$2x^{2}-2= $____.

答案： $ 2(x+1)(x-1) $

18. (1)对于一个长方形,可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积,得到一个等式. 要求等式从左边到右边是一个多项式到几个整式的积的变形形式,相当于对左边的多项式进行因式分解,我们把这样的等式叫“因式分解等式”. 如图1,是由$4$个小长方形拼接而成的大长方形,根据计算长方形的面积,可以得到的“因式分解等式”为____;如图2,若$a = p,b = q$时,根据计算长方形的面积可以得到的“因式分解等式”为____;
(2)类似的,通过不同的方法表示同一个长方体的体积,也可以探求相应的“因式分解等式”. 如图3,棱长为$a + b的正方体被分割成8$块. 则有____$=(a + b)^{3}$;
(3)根据(1)和(2)中的结论解答下列问题:若图1与图2中的$a与b的值满足a + b = 4,a^{2}+b^{2}= 12$,求$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{6}+b^{6}}$的值.

答案： 解:
(1)由图形等面积可得$ a p+a q+b p+b q=(a+b)(p+q) $;
$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} $;
故答案为:$ a p+a q+b p+b q=(a+b)(p+q) $;$ a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} $;
(2)正方体的体积为$ (a+b)^{3} $,
由图可知正方体被分割成8部分,
其中1个边长为$ a $的小正方体,
1个边长为$ b $的小正方体,
3个底面边长为$ a $,高为$ b $的长方体,
3个底面边长为$ b $,高为$ a $的长方体,
$ \therefore(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2} $,
故答案为:$ a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2} $;
(3)$ \because a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}, a+b=4, a^{2}+b^{2}=12 $,
$ \therefore a b=2 $,
$ \because a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}=(a+b)^{3} $,
$ \therefore a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3 a^{2} b-3 a b^{2} $
$ =(a+b)^{3}-3 a b(a+b) $
$ =4^{3}-3 \times 2 \times 4 $
$ =40 $;
$ \because a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} $,
$ \therefore\left(a^{3}\right)^{2}+2 a^{3} b^{3}+\left(b^{3}\right)^{2}=\left(a^{3}+b^{3}\right)^{2} $,
$ \therefore a^{6}+b^{6}=40^{2}-2 \times 2^{3}=1600-16 $,
$ \therefore \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{6}+b^{6}}=\frac{40}{1600-16}=\frac{10}{400-4}=\frac{5}{198} $.