《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

13. 【问题探究】
(1)如图$1$,$BD为四边形ABCD$的对角线,$BD\perp CD$,若$AB= 8$,$AD= 6$,$BC= 5\sqrt{5}$,$CD= 5$,试求四边形$ABCD$的面积;
【问题解决】
(2)如图$2$,四边形$ABCD$是某县一座全民健身中心的平面示意图,$AC$,$AE$,$EF$为三条走廊(点$E和点F分别在边BC和AB$上),$AD= 60\ \text{m}$,$CD= AE= 40\ \text{m}$,$CE= 20\ \text{m}$,$BE= 30\ \text{m}$,$AC\perp CD$,$EF\perp AB$.随着民众健康意识的不断增强,对科学健身也有了更多的需求,为满足民众不断增长的健身需求,该县计划对这座全民健身中心进行重新规划,在$AB上取点H$,并将$\triangle BEH$区域修建为功能训练区,根据设计要求,$\triangle BEH$应为等腰三角形,请你帮助设计人员计算出所有符合条件的$AH$的长.

答案：
解:
(1)由题意可得:∠BDC=90°.
　
∵BC=5$\sqrt{5}$,CD=5,
　
∴BD=$\sqrt{BC²−CD²}$=$\sqrt{(5\sqrt{5})²−5²}$=10.
　
∵BD=10,AB=8,AD=6,
　
∴AB²+AD²=8²+6²=100=BD².
　
∴△ABD是直角三角形，且∠A=90°.
　
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=$\frac{1}{2}$×8×6+$\frac{1}{2}$×5×10=49.
(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=$\sqrt{AD²+CD²}$=$\sqrt{6² + 5²}=\sqrt{61}$(m).
　
∵AC=$\sqrt{61}$m,AE=40m,CE=20m,
　　原答案此处勾股关系不成立，可能存在错误，以下按正确逻辑推理
　　假设在Rt△ABE中，AE = 40m，BE = 30m，
　
∴AB = $\sqrt{AE²+BE²}$ = 50m.
　
∵EF⊥AB,
　
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$AE·BE=$\frac{1}{2}$AB·EF.
　
∴$\frac{1}{2}$×40×30=$\frac{1}{2}$×50EF,
　　解得EF=24m.
　　①当BE=BH时,如图，
　　点H在H1的位置，
　　　　　　　　　　　　　
　
∴BH1=30m.
　
∴AH1=AB−BH1=20m.
　　②当EB=EH时，点H在H2的位置，
　　在Rt△BEF中，
∵BE=30m,EF=24m,
　
∴BF=$\sqrt{BE²−EF²}$=18(m).
　　由题意可得可得:H2F=BF=18(m).
　
∴AH2=AB−BH2=50−(18+18)=14(m);
　　③当HB=HE时，点H在H3的位置，
　　设H3F=x,则H3E=H3B=18+x.
　　H3E²=H3F²+EF²,
　
∴(18+x)²=x²+24²,
　　解得x=7,即H3F=7.
　
∴AH3=AB−BH3=50−(18+7)=25(m).
　　综上可知，AH的长为20米或14m或25m.

14. 【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“奇异三角形”.
【应用探究】
(1)如图,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$BC= \sqrt{3}$,$AC= 2$.求证:$\triangle ABC$是“奇异三角形”;
(2)已知,等腰$\triangle ABC$是“奇异三角形”,$AB= AC= 20$,求底边$BC$的长.(结果保留根号)

答案：

(1)证明:如图1,BD为三角形ABC底边AC上的中线，
　　　　　　　　　　　　　　
　　则CD=$\frac{1}{2}$AC=1,
　　又
∵BC=$\sqrt{3}$
　
∴BD=$\sqrt{1²+(\sqrt{3})²}$=2=AC,
　
∴△ABC是“奇异三角形”;
(2)解:分两种情况:如图2,当腰上的中线BD=AC时，则AB=BD,过B作BE⊥AD
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　于E,
　
∵AB=AC=20,
　
∴BD=20,ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$AC=5,
　
∴CE=10+5=15,
　
∴Rt△BDE中,BE²=BD²−DE²=375,
　
∴Rt△BCE中,BC=$\sqrt{BE²+CE²}$=$\sqrt{375+225}$=$\sqrt{600}$=10$\sqrt{6}$;
　　如图3,当底边上的中线AD=BC时，则AD⊥BC,且AD=2BD，
　　设BD=x,则x²+(2x)²=20²,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴x²=80,
　　又
∵x＞0,
　
∴x=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$,
　
∴BC=2x=8$\sqrt{5}$,
　　综上所述，底边BC的长为10$\sqrt{6}$或8$\sqrt{5}$.

1. 如图,在$\triangle ABC$中,分别以顶点$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点$M$,$N$,连接$MN$,分别与边$AB$,$BC相交于点D$,$E$.若$AD= 4$,$\triangle AEC的周长为17$,则$\triangle ABC$的周长为()
A. $20$
B. $21$
C. $25$
D. $30$

答案： C

2. 如图,有$A$,$B$,$C$三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()
A. $\triangle ABC$三条中线的交点处
B. $\triangle ABC$三条角平分线的交点处
C. $\triangle ABC$三条高线的交点处
D. $\triangle ABC$三条边的垂直平分线的交点处

答案： D