《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

考点二:提公因式法
1. 多项式$12ab^{2}-8a^{2}bc$的公因式是 ()
A. $4ab$
B. $4a^{2}b^{2}$
C. $2ab$
D. $2abc$

答案： A

2. 用提公因式法分解因式正确的是 ()
A. $12abc - 9a^{2}b^{2}c^{2}= 3abc(4 - 3ab)$
B. $3x^{2}y - 3xy + 6y= 3y(x^{2}-x + 2y)$
C. $-a^{2}+ab - ac= -a(a - b + c)$
D. $x^{2}y + 5xy - y= y(x^{2}+5x)$

答案： C

3. 化简$(-2)^{2025}+(-2)^{2026}$,结果为 ()
A. $-2$
B. $0$
C. $-2^{2025}$
D. $2^{2025}$

答案： D

4. 如图,长、宽分别为$a、b的长方形周长为16$,面积为$12$,则$a^{2}b + ab^{2}$的值为 ()

A. $80$
B. $96$
C. $192$
D. $240$

答案： B

5. 分解因式:$x(x - 3)+(3 - x)= $____.

答案： $ (x-3)(x-1) $

6. 一个长、宽分别为$m,n的长方形的周长为16$,面积为$8$,则$m^{2}n + mn^{2}$的值为____.

答案： 64

7. $18ab^{2}(a - b)^{2}与12b(a - b)$的公因式是____.

答案： $ 6 b(a-b) $

8. 已知$M= a^{2}-2a$.
(1)把$M$分解因式,结果是____.
(2)若$a= \sqrt{7}+1$,则$M$的值为____.

答案： $ a(a-2) $ 6

9. 若$a^{2}+2a = 1$,则$2a^{2}+4a + 1= $____.

答案： 3

10. 因式分解:$2(m - n)^{2}-m(m - n)$.

答案： 解:$ 2(m-n)^{2}-m(m-n) $
$ =(m-n)[2(m-n)-m] $
$ =(m-n)(m-2 n) $.

11. 分解因式:$12(x - y)^{3}+15x(y - x)^{2}$.

答案： 解:$ 12(x-y)^{3}+15 x(y-x)^{2} $
$ =12(x-y)^{3}+15 x(x-y)^{2} $
$ =3(x-y)^{2}[4(x-y)+5 x] $
$ =3(x-y)^{2}(9 x-4 y) $.

12. 【问题提出】
计算:$1 + 3 + 3(1 + 3)+3(1 + 3)^{2}+3(1 + 3)^{3}+3(1 + 3)^{4}+3(1 + 3)^{5}+3(1 + 3)^{6}$
【问题探究】
为便于研究发现规律,我们可以将问题“一般化”,即将算式中特殊的数字$3用具有一般性的字母a$代替,原算式化为:
$1 + a + a(1 + a)+a(1 + a)^{2}+a(1 + a)^{3}+a(1 + a)^{4}+a(1 + a)^{5}+a(1 + a)^{6}$
然后我们再从最简单的情形入手,从中发现规律,找到解决问题的方法;
①$1 + a + a(1 + a)$
$=(1 + a)+a(1 + a)$
$=(1 + a)(1 + a)$
$=(1 + a)^{2}$
②由①知$1 + a + a(1 + a)= (1 + a)^{2}$,所以,
$1 + a + a(1 + a)+a(1 + a)^{2}$
$=(1 + a)^{2}+a(1 + a)^{2}$
$=(1 + a)^{2}(1 + a)$
$=(1 + a)^{3}$
(1)仿照②,写出将$1 + a + a(1 + a)+a(1 + a)^{2}+a(1 + a)^{3}$进行因式分解的过程.
【发现规律】
(2)$1 + a + a(1 + a)+a(1 + a)^{2}+…+a(1 + a)^{n}= $____.
【问题解决】
(3)计算:$1 + 3 + 3(1 + 3)+3(1 + 3)^{2}+3(1 + 3)^{3}+3(1 + 3)^{4}+3(1 + 3)^{5}+3(1 + 3)^{6}= $____(结果用乘方表示).

答案： 解:
(1)$ 1+a+a(1+a)+a(1+a)^{2}+a(1+a)^{3} $
$ =(1+a)(1+a)+a(1+a)^{2}+a(1+a)^{3} $
$ =(1+a)^{2}(1+a)+a(1+a)^{3} $
$ =(1+a)^{3}+a(1+a)^{3} $
$ =(1+a)^{3}(1+a) $
$ =(1+a)^{4} $;
(2)由②③发现规律:$ 1+a+a(1+a)+a(1+a)^{2}+\cdots+a(1+a)^{n}=(1+a)^{n+1} $;
故答案为:$ (1+a)^{n+1} $;
(3)$ 1+3+3(1+3)+3(1+3)^{2}+3(1+3)^{3}+3(1+3)^{4}+3(1+3)^{5}+3(1+3)^{6} $
$ =(1+3)(1+3)+3(1+3)^{2}+3(1+3)^{3}+3(1+3)^{4}+3(1+3)^{5}+3(1+3)^{6} $
$ =(1+3)^{2}(1+3)+3(1+3)^{3}+3(1+3)^{4}+3(1+3)^{5}+3(1+3)^{6} $
$ =(1+3)^{3}(1+3)+3(1+3)^{4}+3(1+3)^{5}+3(1+3)^{6} $
$ =(1+3)^{4}(1+3)+3(1+3)^{5}+3(1+3)^{6} $
$ =(1+3)^{5}(1+3)+3(1+3)^{6} $
$ =(1+3)^{6}(1+3) $
$ =(1+3)^{7} $
$ =4^{7} $.
故答案为:$ 4^{7} $.