《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

1. 定义新运算：对于非零的两个实数 $ a $ 和 $ b $,规定 $ a ※ b = \frac{1}{b} - \frac{2}{a} $,如 $ 3※2 = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6} $。若 $ (x - 4)※(x + 1) = 0 $,则 $ x $ 的值为______。

答案： 解：$\because a※b=\frac{1}{b}-\frac{2}{a}$，
$\therefore (x - 4)※(x + 1)$
$=\frac{1}{x + 1}-\frac{2}{x - 4}$，
$\because (x - 4)※(x + 1)=0$，
$\therefore \frac{1}{x + 1}-\frac{2}{x - 4}=0$，
解得：$x = - 6$，
经检验，$x = - 6$是$\frac{1}{x + 1}-\frac{2}{x - 4}=0$的解．
故答案为：$-6$

2. 新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”,例如：方程 $ x - 1 = 3 $ 的解为 $ x = 4 $,而不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 2 \\ x + 2 ＜ 7 \end{cases} $ 的解集为 $ 3 ＜ x ＜ 5 $,不难发现 $ x = 4 $ 在 $ 3 ＜ x ＜ 5 $ 的范围内,所以方程 $ x - 1 = 3 $ 是不等式组 $ \begin{cases} x - 1 ＞ 2 \\ x + 2 ＜ 7 \end{cases} $ 的“关联方程”。
(1) 在方程① $ 3(x + 1) - x = 9 $；② $ 4x - 8 = 0 $；③ $ \frac{x - 1}{2} + 1 = x $ 中,关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} 2x - 2 ＞ x - 1 \\ 3(x - 2) - x \leq 4 \end{cases} $ 的“关联方程”是______；(填序号)
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x - k = 6 $ 是不等式组 $ \begin{cases} 3x + 1 \geq 2x \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{2x + 1}{3} - 2 \end{cases} $ 的“关联方程”求 $ k $ 的取值范围；
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + 7}{2} = 3m $ 是关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} x + 3m ＞ 3m \\ x - m \leq 2m + 1 \end{cases} $ 的“关联方程”,且此时不等式组恰好有 4 个整数解,试求 $ m $ 的取值范围。

答案： 解：
(1)①$3(x + 1)-x = 9$，解得$x = 3$；
②$4x - 8 = 0$，解得$x = 2$；
③$\frac{x - 1}{2}+1 = x$，解得$x = 1$；
解不等式$2x - 2＞x - 1$得：$x＞1$，
解不等式$3(x - 2)-x\leqslant4$得：$x\leqslant5$，
$\therefore \begin{cases}2x - 2＞x - 1\\3(x - 2)-x\leqslant4\end{cases}$的解集为$1＜x\leqslant5$，
$\because x = 3$，$x = 2$在$1＜x\leqslant5$范围内，
$\therefore$不等式组$\begin{cases}2x - 2＞x - 1\\3(x - 2)-x\leqslant4\end{cases}$“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
(2)解不等式$3x + 1\geqslant2x$得：$x\geqslant - 1$，
解不等式$\frac{x - 1}{2}\geqslant\frac{2x + 1}{3}-2$得：$x\leqslant7$，
$\therefore \begin{cases}\frac{3x + 1}{2}＞x\\\frac{x - 1}{2}\geqslant\frac{2x + 1}{3}-2\end{cases}$的解集为$-1\leqslant x\leqslant7$，
关于$x$的方程$2x - k = 6$的解为$x=\frac{1}{2}k + 3$，
$\because$关于$x$的方程$2x - k = 6$是不等式组的“关联方程”，
$\therefore x=\frac{1}{2}k + 3$在$-1\leqslant x\leqslant7$范围内，
$\therefore - 1\leqslant\frac{1}{2}k + 3\leqslant7$，
解得$-8\leqslant k\leqslant8$；
(3)解不等式$x + 3m＞3m$得：$x＞0$，
解不等式$x - m\leqslant2m + 1$得：$x\leqslant3m + 1$，
$\therefore \begin{cases}x + 3m＞3m\\x - m\leqslant2m + 1\end{cases}$的解集为$0＜x\leqslant3m + 1$，
$\because$此时不等式组有$4$个整数解，
$\therefore 4\leqslant3m + 1＜5$，
解得$1\leqslant m＜\frac{4}{3}$，
关于$x$的方程$\frac{x + 7}{2}-3m = 0$的解为$x = 6m - 7$，
$\because$关于$x$的方程$\frac{x + 7}{2}-3m = 0$是不等式组$\begin{cases}x + 3m＞3m\\x - m\leqslant2m + 1\end{cases}$的“关联方程”，
$\therefore x = 6m - 7$在$0＜x\leqslant3m + 1$范围内
$\therefore 0＜6m - 7\leqslant3m + 1$，
解得$\frac{7}{6}＜m\leqslant\frac{8}{3}$，
综上所述，$\frac{7}{6}＜m＜\frac{4}{3}$．

3. 【概念呈现】
设一个钝角三角形的两个锐角为 $ \alpha $ 与 $ \beta $,如果 $ 2\alpha + \beta = 90^{\circ} $,那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形,这个锐角 $ \alpha $ 叫做这个三角形的倍余角。
【特例感知】
若一个三角形的三个内角分别为 $ 15^{\circ} $,$ 60^{\circ} $ 和 $ 105^{\circ} $,则这个三角形______(填写“是”或“不是”)倍余三角形。
【深入探究】
若一个等腰三角形是倍余三角形,则这个三角形的倍余角的度数为______ $ ^{\circ} $。
【拓展延伸】
在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ \angle C = 28^{\circ} $,点 $ D $ 是边 $ BC $ 上一点,若 $ \triangle ADC $ 是倍余三角形,则 $ \angle ADC $ 的度数为______。

答案： 解：特例感知：$\because$倍余三角形定义为钝角三角形中两个锐角$\alpha$与$\beta$满足$2\alpha+\beta = 90^{\circ}$．
$\therefore$在三角形三个内角为$15^{\circ}$，$60^{\circ}$和$105^{\circ}$，两个锐角为$15^{\circ}$，$60^{\circ}$，$2\times15^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore$满足倍余三角形定义，
故答案为：是；
深入探究：情况一，当$\alpha$是底角时，$\beta$是底角，那么$\alpha=\beta$，代入$2\alpha+\beta = 90^{\circ}$，解得$\alpha = 30^{\circ}$；
情况二，当$\alpha$是底角时，$\beta$是顶角，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\beta = 180^{\circ}-2\alpha$，$2\alpha+\beta = 90^{\circ}$，所以$2\alpha+180^{\circ}-2\alpha = 90^{\circ}$，不成立；
情况三：当$\alpha$是顶角时，$\beta$是底角，$2\alpha+\beta = 90^{\circ}$，且$\alpha+2\beta = 180^{\circ}$，由$2\alpha+\beta = 90^{\circ}$可得$\beta = 90^{\circ}-2\alpha$，代入$\alpha+2\beta = 180^{\circ}$，即$\alpha+2(90^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}-3\alpha = 0$，不成立．
故答案为：$\alpha = 30^{\circ}$；
拓展延伸：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle C = 28^{\circ}$，则$\angle BAC = 180^{\circ}-90^{\circ}-28^{\circ}=62^{\circ}$因为$\triangle ADC$是倍余三角形，$\angle C = 28^{\circ}$，设$\angle DAC=\alpha$，$\angle ADC=\beta$，然后分情况讨论．
情况一：当$2\angle C+\angle DAC = 90^{\circ}$时，$2\times28^{\circ}+\angle DAC = 90^{\circ}$，则$\angle DAC = 34^{\circ}$，根据三角形内角和$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle C-\angle DAC = 180^{\circ}-28^{\circ}-34^{\circ}=118^{\circ}$；
情况二：当$2\angle DAC+\angle C = 90^{\circ}$时，$2\angle DAC+28^{\circ}=90^{\circ}$，$2\angle DAC = 62^{\circ}$，$\angle DAC = 31^{\circ}$，$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle C-\angle DAC = 180^{\circ}-28^{\circ}-31^{\circ}=121^{\circ}$．
故答案为：$118^{\circ}$或$121^{\circ}$．