《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

4. 【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想,通过观察函数图象,求方程的解和不等式的解集,从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系。创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此,他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
(1) 已知二元一次不等式$x + 2 - y＞0$。
步骤1：特例感知
令$x + 2 - y = 0$时,可将此二元一次方程变形为一次函数：$y = x + 2$,请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：取点$A(1,3)$时,
$\because当x = 1$时,代入$y = x + 2$,得$y = 3$,
$\therefore点A在一次函数y = x + 2$的图象上,
即$\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}是二元一次方程x + 2 - y = 0$的解。
探究②：取点$B(1,1)$时,将$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}代入x + 2 - y得1 + 2 - 1 = 2＞0$,
$\therefore不等式x + 2 - y＞0$成立,
即$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}是二元一次不等式x + 2 - y＞0$的解。
探究③：取点$B(1,1)$时,
在图1中的平面直角坐标系中描出点$B$,
$\because点B在一次函数y = x + 2$图象下方,
$\therefore1＜1 + 2$,即满足$y＜x + 2$；
即$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}是二元一次不等式x + 2 - y＞0$的解。
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程,请先判断下列选项中,____(填序号)是二元一次不等式$x + 2 - y＞0$的解；
①$\begin{cases}x = 2,\\y = 3;\end{cases}$②$\begin{cases}x = 5,\\y = 7;\end{cases}$③$\begin{cases}x = -3,\\y = -\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
再写出一组满足二元一次不等式$x + 2 - y＞0$的解：____；
步骤4：发现结论
二元一次不等式$x + 2 - y＞0的解集可以表示为直线y = x + 2$____(填“上方”或“下方”)的所有点组成的区域。
任务二：结论应用
(2) 已知不等式组$\begin{cases}x + 2 - y\leqslant0,\\\dfrac{1}{2}x + 3 - y\geqslant0,\\y\geqslant0,\end{cases}$请在图2的平面直角坐标系中,用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域,并求出该阴影部分的面积。
任务三：拓展升华
(3) 在(2)的条件下,若点$(m,n)$是阴影部分的一动点,记$b = 3m + n$,则$b$的最大值为____。

答案：
解：
(1)步骤 1：如图，

步骤 3：①将 $ \begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases} $ 代入 $ x + 2 - y $ 得 $ 2 + 2 - 3 = 1＞0 $，
$ \therefore \begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases} $ 是二元一次不等式 $ x + 2 - y＞0 $ 的解；
②将 $ \begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases} $ 代入 $ x + 2 - y $ 得 $ 5 + 2 - 7 = 0 $，
$ \therefore \begin{cases}x = 5\\y = 7\end{cases} $ 不是二元一次不等式 $ x + 2 - y＞0 $ 的解；
③将 $ \begin{cases}x=-3\\y=-\frac{1}{2}\end{cases} $ 代入 $ x + 2 - y $ 得 $ -3 + 2 - (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}＜0 $，
$ \therefore \begin{cases}x=-3\\y=-\frac{1}{2}\end{cases} $ 不是二元一次不等式 $ x + 2 - y＞0 $ 的解；
再写出一组满足二元一次不等式 $ x + 2 - y＞0 $ 的解：$ (3,1) $（答案不唯一）；
故答案为：①，$ (3,1) $（答案不唯一）；
步骤 4：二元一次不等式 $ x + 2 - y＞0 $ 的解集可以表示为直线 $ y = x + 2 $ 下方的所有点组成的区域．
故答案为：下方；
(2)不等式组 $ \begin{cases}x + 2 - y\leqslant0\\\frac{1}{2}x + 3 - y\geqslant0\\y\geqslant0\end{cases} $，
在图 2 的平面直角坐标系中，画出 $ y = x + 2 $，$ y=\frac{1}{2}x + 3 $ 的图象，如图，

由图得，$ \triangle MNQ $ 即为不等式组的解集所在的区域，
该阴影部分的面积 $ S_{\triangle MNQ}=\frac{1}{2}NQ\cdot\vert y_{M}\vert $．
解 $ \begin{cases}y = x + 2\\y=\frac{1}{2}x + 3\end{cases} $ 得 $ \begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases} $，
$ \therefore M(2,4) $，
$ \therefore $ 该阴影部分的面积 $ S_{\triangle MNQ}=\frac{1}{2}NQ\cdot\vert y_{M}\vert=\frac{1}{2}\times4\times4 = 8 $；
(3)由图
(2)得，$ M(2,4) $ 是阴影部分的一点，
$ \therefore m $ 的最大值为 $ 2 $，$ n $ 的最大值为 $ 4 $，
$ \therefore b = 3m + n = 3\times2 + 4 = 10 $，
则 $ b $ 的最大值为 $ 10 $．
故答案为：$ 10 $．