《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 4$,$BC = 7$,尺规作图的部分作法如下:①分别以$AB的端点A$,$B$为圆心、大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,使两弧相交于点$M$,$N$;②作直线$MN交BC于点P$,则$\triangle APC$的周长是()

A. 10
B. 11
C. 15
D. 18

答案： B

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AC的垂直平分线l交BC于点D$.若$\angle B = 35^{\circ}$,则$\angle CAD = $()

A. $32^{\circ}$
B. $33^{\circ}$
C. $34^{\circ}$
D. $35^{\circ}$

答案： D

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BC = 4$,$S_{\triangle ABC} = 20$,$D为BC$边的中点,$AC的垂直平分线l交AC于点E$,若$P为直线l$上一动点,则$\triangle PDC$的周长的最小值为()

A. 7
B. 10
C. 12
D. 14

答案：
解:如图，在△ABC中,AB=AC,BC=4,点D为BC边的中点，连接AD,AP，
∴AD⊥BC,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×4AD
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =20,
∴AD=10,
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=AD+$\frac{1}{2}$BC=10+$\frac{1}{2}$×4=12,
　故选:C.

4. 如图,线段$AB$,$BC的垂直平分线l_{1}$,$l_{2}相交于点O$,若$\angle B = 40^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数是______.

答案：
解:连接BO,并延长BO到P，
　由条件可知AO=OB=OC，
　∠BDO=∠BEO=90°,
∴∠DOE+∠ABC=180°,
　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠B=40°,
∴∠DOE=140°,
∵AO=OB=OC,
∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C,
∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C =2∠ABC=80°;
　故答案为:80°.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,$DE\perp AB于E$,连接$CE$,交$AD于点F$.
(1)求证:$AD是线段CE$的垂直平分线;
(2)若$\angle BAC = 60^{\circ}$,$AD = 16$,求$DF$的长.

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠AED=∠ACB=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC,
　在△AED和△ACD中,
　$\left\{\begin{array}{l} \angle AED=\angle ACB=90^{\circ} \\ \angle DAE=\angle DAC \\ AD=AD \end{array}\right.$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,DE=DC,
∴AD是线段CE的垂直平分线;
(2)解:
∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
　在Rt△ADE中,∠EAD=30°,AD=16,
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=8,∠ADE=90°−∠EAD=60°,
∵AD是线段CE的垂直平分线,
∴∠DFE=90°,
∴∠DEF=90°−∠ADE=30°,
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=4,
∴DF的长为4.