《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

4. 【阅读理解】
我们把形如 $ ax + by = c $($ a $,$ b $ 均为整数,$ a \neq 0 $ 且 $ b \neq 0 $)的方程称为二元一次整系数方程。
若 $ a = 1 $,则可以用以下方法确定其正整数解的数量,例如 $ x + 3y = 10 $,则 $ x = 10 - 3y $,
$ \because \begin{cases} y ＞ 0 \\ 10 - 3y ＞ 0 \end{cases} $,$ \therefore 0 ＜ y ＜ \frac{10}{3} $,
$ \because y $ 为正整数,$ \therefore y = 1 $,$ 2 $,$ 3 $,故原方程的正整数解有 3 个,分别为 $ \begin{cases} x = 7 \\ y = 1 \end{cases} $,$ \begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases} $,$ \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases} $。
若 $ a \neq b \neq 1 $,则可以用以下方法确定其正整数解的数量。
例如 $ 2x + 3y = 9 $,则 $ y = \frac{9 - 2x}{3} = 3 - \frac{2}{3}x $,
设 $ x = 3k $($ k $ 为正整数),则 $ y = 3 - 2k $,
$ \because \begin{cases} 3k ＞ 0 \\ 3 - 2k ＞ 0 \end{cases} $,$ \therefore 0 ＜ k ＜ \frac{3}{2} $,
$ \therefore k = 1 $,故原方程的正整数解有 1 个,为 $ \begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases} $。
【问题解决】
(1) 结合上述内容,请直接写出 $ 4x + 2y = 10 $ 的所有正整数解；
(2) 若关于 $ x $ 和 $ y $ 的二元一次方程 $ x + 2y = m $ 有且只有一个正整数解,请求出 $ m $ 的值；
【应用迁移】
(3) 假期临近,吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生,委托采购小组购买奖品。组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本,其中 A 类型笔记本 7 本,B 类型笔记本 12 本,总计花费 84 元,由于未索取收银小票,因此暂不能确定两种笔记本的具体单价。”吴老师听后,敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数。请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确。

答案： 解：
(1)由题意，$\because 4x + 2y = 10$，
$\therefore 2x + y = 5$．
$\therefore y = 5 - 2x$．
$\because \begin{cases}x＞0\\5 - 2x＞0\end{cases}$，
$\therefore 0＜x＜\frac{5}{2}$．
$\because x$是正整数，
$\therefore x = 1$，$2$．
$\therefore$原方程的正整数解有$2$个，分别为$\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$，$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$．
(2)由题意，$\because x + 2y = m$，
$\therefore x = m - 2y$．
又$\begin{cases}y＞0\\m - 2y＞0\end{cases}$，
$\therefore 0＜y＜\frac{m}{2}$．
$\because$方程有且只有一个正整数解，
$\therefore y = 1$，$1＜\frac{m}{2}\leqslant2$．
$\therefore 2＜m\leqslant4$．
又$x$为正整数，
$\therefore m = 3$或$4$．
(3)由题意，设$A$类型笔记本的单价为$x$元，$B$类型笔记本的单价为$y$元，
$\therefore 7x + 12y = 84$．
$\therefore x = 12-\frac{12}{7}y$．
$\therefore x = 12(1-\frac{y}{7})$
又$\because x$，$y$为正整数，
$\therefore y＞0$，且$1-\frac{y}{7}＞0$．
$\therefore 0＜y＜7$．
又$y = 7k$，$k$为正整数，
$\therefore 7k＜7$．
$\therefore k＜1$，$k$为正整数．
$\therefore k$不存在．
$\therefore$这样的$x$，$y$不存在．
$\therefore$两种类型笔记本的单价不可能同时为整数，吴老师的判断正确．