《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E$,交边$AB于点D$,若$AC的长为9\ \text{cm}$,$BE的长为6\ \text{cm}$,则$EC$的长为()
A. $2\ \text{cm}$
B. $3\ \text{cm}$
C. $4\ \text{cm}$
D. $5\ \text{cm}$

答案： B

4. 如图,在$\triangle ABC$中,分别以点$A和点C$为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两弧相交于$M$,$N$两点,直线$MN分别与边BC$,$AC相交于点D$,$E$,连接$AD$.若$AC= 8$,$AD= 5$,则$DE$的长为()
A. $6$
B. $5$
C. $4$
D. $3$

答案： D

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$DE$,$FG分别是边AB$,$AC$的垂直平分线,分别交$BC于E$,$G$两点,连接$AE$,$AG$,若$BC= 8$,则$\triangle AEG$的周长为______.

答案： 8

6. 如图所示,在正方形网格中,$\triangle ABC$的顶点在格点上,在$\triangle ABC内部有E$,$F$,$G$,$H$四个格点,则到$\triangle ABC$三个顶点距离相等的点是______.

答案： F

7. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$D是AB$上的一点,且$AD= AC$,$DE// BC$,$CD平分\angle EDF$,求证:$AF垂直平分CD$.

答案： 证明:
∵DE//BC,
　
∴∠CDE=∠DCF,
　
∵CD平分∠EDF，
　
∴∠CDF=∠CDE,
　
∴∠CDF=∠DCF,
　
∴DF=CF,
　
∴点F在线段CD的垂直平分线上，
　
∵AD=AC,
　
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
　
∴AF垂直平分CD.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$EF垂直平分AC$,交$AC于点F$,交$BC于点E$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,且$BD= DE$,连接$AE$.
(1)求证:$AB= EC$;
(2)若$\triangle ABC的周长为19\ \text{cm}$,$AC= 8\ \text{cm}$,则$DC$的长为多少?

答案：
(1)证明:
∵EF垂直平分AC，
　
∴AE=EC,
　
∵AD⊥BC,BD=DE,
　
∴AB=AE,
　
∴AB=EC;
(2)解:
∵△ABC的周长为19cm，
　
∴AB+BC+AC=19cm,
　
∵AC=8cm,
　
∴AB+BC=11cm,
　
∵AB=EC,BD=DE,
　
∴AB+BD=DE+EC=DC,
　
∵AB+BC=AB+BD+DC=2DC=11cm,
　
∴DC=$\frac{11}{2}$cm.