《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D$,$E$,$F分别在AB$,$BC$,$AC$边上,且$BE= CF$,$BD= CE$.
(1)求证:$\triangle DEF$是等腰三角形;
(2)当$\angle A= 40^{\circ}$时,求$\angle DEF$的度数.

答案：

(1)证明:
∵AB=AC,
　
∴∠ABC=∠ACB,
　　在△DBE和△ECF中
　　$ \left\{ \begin{array} { l } { B E = C F } \\ { \angle A B C = \angle A C B } \\ { B D = C E } \end{array} \right. $
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴△DBE≌△ECF(SAS),
　
∴DE=EF,
　
∴△DEF是等腰三角形;
(2)解:
∵△DBE≌△ECF,
　
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
　
∵∠A+∠B+∠C=180°,
　
∴∠B=$\frac{1}{2}$(180°−40°)=70°,
　
∴∠1+∠2=110°,
　
∴∠3+∠2=110°,
　
∴∠DEF=70°.

17. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D为AC$边上一点,连接$BD并延长到点E$,过点$E作EF// BC交AC于点F$,交$AB于点G$.
(1)若$BD= DE$,求证:$CD= DF$;
(2)若$BG= GE$,$\angle ACB= 70^{\circ}$,$\angle E= 25^{\circ}$,求$\angle A$的度数.

答案：
(1)证明:
∵EF//BC,
　
∴∠E=∠CBD,
　　在△BCD和△EFD中，
　　$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle C B D = \angle E } \\ { B D = D E } \\ { \angle B D C = \angle E D F } \end{array} \right. $
　
∴△BCD≌△EFD(ASA),
　
∴CD=DF;
(2)解:
∵BG=GE,
　
∴∠GBE=∠E=25°,
　　由
(1)知∠CBD=∠E=25°,
　
∴∠ABC=∠GBE+∠CBD=50°,
　
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−50°−70°=60°.

18. 已知在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D是边AB$上一点,$\angle BCD= \angle A$.
(1)如图$1$,试说明$CD= CB$的理由;
(2)如图$2$,过点$B作BE\perp AC$,垂足为点$E$,$BE与CD相交于点F$.
①试说明$\angle BCD= 2\angle CBE$的理由;
②若$BD= BF$,求$\angle A$的度数.

答案： 解:
(1)
∵AB=AC,
　
∴∠ABC=∠ACB,
　
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
　
∴∠BDC=∠A+∠ACD,
　
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
　
∴∠BDC=∠ACB,
　
∴∠ABC=∠BDC.
　
∴CD=CB;
(2)①
∵BE⊥AC,
　
∴∠BEC=90°,
　
∴∠CBE+∠ACB=90°,
　　设∠CBE=α,则∠ACB=90°−α,
　
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α,
　
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α,
　
∴∠BCD=2∠CBE;
　　②
∵∠BFD是△CBF的一个外角，
　
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,
　
∵BD=BF,
　
∴∠BDC=∠BFD=3α,
　
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α,
　
∴90°−α=3α,
　
∴α=22.5°,
　
∴∠A=∠BCD=2α=45°.

1. 若$\triangle ABC的三边分别为a$,$b$,$c$,下列给出的条件能构成直角三角形的是()
A. $a= 2$,$b= 3$,$c= 4$
B. $a= 3$,$b= 4$,$c= 5$
C. $a= 3$,$b= 5$,$c= 7$
D. $a= 4$,$b= 5$,$c= 6$

答案： B

2. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”,证明了勾股定理,后人称该图为“赵爽弦图”.如图,“赵爽弦图”是用$4个全等的直角三角形与1$个小正方形镶嵌而成的正方形图案.如果该大正方形的面积为$49$,小正方形的面积为$4$,用$x$,$y表示直角三角形的两直角边(x＞y)$,下列四个推断:①$x^{2}+y^{2}= 49$;②$x-y= 2$;③$2xy+4= 49$;④$x+y= 7$.其中所有正确推断的序号是()
A. ①②
B. ①②③
C. ①③④
D. ①②③④

答案： B