《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

10. 先化简,再求值:$\frac {m}{m+1}÷\frac {m^{2}+2m}{m^{2}-1}+(1+\frac {1}{m+1})\cdot \frac {2m+2}{m^{2}+4m+4}$,其中 $m= -\sqrt {3}$.

答案： 解:$\frac{m}{m + 1}\div\frac{m^{2}+2m}{m^{2}-1}+(1+\frac{1}{m + 1})\times\frac{2m + 2}{m^{2}+4m + 4}$
$=\frac{m}{m + 1}\cdot\frac{(m + 1)(m - 1)}{m(m + 2)}+\frac{m + 2}{m + 1}\cdot\frac{2(m + 1)}{(m + 2)^{2}}$
$=\frac{m - 1}{m + 2}+\frac{2}{m + 2}$
$=\frac{m + 1}{m + 2}$.
当$m = -\sqrt{3}$时,原式$=\frac{-\sqrt{3}+1}{-\sqrt{3}+2}=-1-\sqrt{3}$

11. 阅读:在分式中,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,例如:$\frac {x-1}{x+1},\frac {x^{2}}{x+2}$ 这样的分式就是假分式;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如:$\frac {1}{x+1},-\frac {2x}{x^{2}-1}$ 这样的分式就是真分式,我们知道,假分数可以化为带分数,例如:$\frac {8}{3}= \frac {3×2+2}{3}= 3\frac {2}{3}$,类似地,假分式也可以化为“带分式”,即整式与真分式的和的形式,
例如:$\frac {x^{2}+2x-1}{x+2}= \frac {x(x+2)-1}{x+2}= x-\frac {1}{x+2}$;
$\frac {x^{2}}{x+2}= \frac {(x^{2}+2x)-2x}{x+2}= \frac {x(x+2)-2x-4+4}{x+2}= \frac {x(x+2)-2(x+2)+4}{x+2}= x-2+\frac {4}{x+2}$.
请根据上述材料,解答下列问题:
(1) 填空:① 分式 $\frac {2}{x+2}$ 是 _ 分式(填“真”或“假”);
② 把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式:
$\frac {x^{2}-3x+5}{x-3}= $ _ + _ .
(2) 把分式 $\frac {x^{2}+2x-13}{x-3}$ 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式,并求 $x$ 取何整数时,这个分式的值为整数.

答案： 解:
(1)①$\because\frac{2}{x + 2}$分子的次数小于分母的次数,
$\therefore$分式$\frac{2}{x + 2}$是真分式;
故答案为:真;
②$\frac{x^{2}-3x + 5}{x - 3}$
$=\frac{x(x - 3)+5}{x - 3}$
$=x+\frac{5}{x - 3}$,
故答案为:$x,\frac{5}{x - 3}$;
(2)$\frac{x^{2}+2x - 13}{x - 3}$
$=\frac{x^{2}-3x+5x - 13}{x - 3}$
$=\frac{x(x - 3)+5(x - 3)+2}{x - 3}$
$=x + 5+\frac{2}{x - 3}$,
$\because x$为整数,要使这个分式的值为整数,即$2$能被$x - 3$整除,
$\therefore x = 1$或$2$或$4$或$5$;

1. 下列方程是分式方程的是 ()
A. $\frac {2}{x+1}= \frac {5}{x-3}$
B. $\frac {3y-1}{2}= \frac {y+5}{6}-2$
C. $2x^{2}-\frac {1}{2}x-3= 0$
D. $2x-5= \frac {8x+1}{7}$

答案： A

2. 分式方程 $\frac {2}{x-1}= 1$ 的解是 ()
A. $x= 1$
B. $x= -2$
C. $x= 3$
D. $x= -3$

答案： C

3. 解分式方程 $\frac {1}{2x-3}-4= \frac {5}{3-2x}$ 时,去分母后可得 ()
A. $1-4(2x-3)= -5$
B. $1-4(2x-3)= 5$
C. $2x-3-4= -5$
D. $2x-3-4= 5(2x-3)$

答案： A

4. 若分式方程 $\frac {x-3}{x-1}= \frac {m}{x-1}$ 有增根,则 $m= $ ()
A. 3
B. -3
C. 2
D. -2

答案： D