《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

6. 先化简,再求值：$\frac{x - 3}{x^{2} - 9} ÷ \frac{x + 1}{2x + 6} - \frac{1}{x + 1}$,其中$x = 2$.

答案： 解：原式$=\frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)}\cdot\frac{2(x + 3)}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$
$=\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$
$=\frac{1}{x + 1}$，
将$x = 2$代入，得：
原式$=\frac{1}{2 + 1}$
$=\frac{1}{3}$。

7. 先化简,再求值：$(1 - \frac{3}{x + 2}) ÷ \frac{x^{2} - 2x + 1}{3x + 6}然后在0$,$1$,$-2$三个数中选一个合适的数,代入求值.

答案： 解：$(1 - \frac{3}{x + 2})\div\frac{x^{2} - 2x + 1}{3x + 6}$
$=\frac{x + 2 - 3}{x + 2}\div\frac{(x - 1)^{2}}{3(x + 2)}$
$=\frac{x - 1}{x + 2}\cdot\frac{3(x + 2)}{(x - 1)^{2}}$
$=\frac{3}{x - 1}$，
∵分式要有意义，
∴$\begin{cases}x + 2\neq 0\\x - 1\neq 0\end{cases}$，
∴$x\neq 1$且$x\neq -2$，
∴当$x = 0$时，原式$=\frac{3}{0 - 1} = -3$。

8. 先化简,再求值：$(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 1}$,从$-1$,$1$,$2$,$3$中选择一个合适的数代入并求值.

答案： 解：原式$=(\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1})\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 2)^{2}}$
$=\frac{x - 2}{x - 1}\cdot\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 2)^{2}}$
$=\frac{x + 1}{x - 2}$。
∵$x^{2} - 1\neq 0$，$x - 2\neq 0$，
∴取$x = 3$，原式$=\frac{3 + 1}{3 - 2} = 4$。

9. 先化简,再求值：$(1 - \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6x + 9}$,其中$x是从1$,$2$,$3$中选取的一个合适的数.

答案：
(1)$(1 - \frac{2}{x - 1})\cdot\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6x + 9}$
$=\frac{x - 1 - 2}{x - 1}\cdot\frac{x(x - 1)}{(x - 3)^{2}}$
$=\frac{x - 3}{x - 1}\cdot\frac{x(x - 1)}{(x - 3)^{2}}$
$=\frac{x}{x - 3}$，
∵当$x = 3$或$1$时，原分式无意义，
∴$x = 2$，
当$x = 2$时，原式$=\frac{2}{2 - 3} = -2$。

10. 解方程：
(1)$\frac{16}{x^{2} - 4} + 1 = \frac{x + 2}{x - 2}$；(2)$\frac{1 - x}{x - 2} = 1 - \frac{3}{x - 2}$；
(3)$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$； (4)$\frac{x - 2}{x + 2} - 1 = \frac{16}{x^{2} - 4}$.

答案： 解：
(1)$\frac{16}{x^{2} - 4} + 1 = \frac{x + 2}{x - 2}$，
$16 + (x + 2)(x - 2) = (x + 2)^{2}$，
解得：$x = 2$，
检验：当$x = 2$时，$(x + 2)(x - 2) = 0$，
∴$x = 2$是原方程的增根，
∴原方程无解。
(2)$\frac{1 - x}{x - 2} = 1 - \frac{3}{x - 2}$，
方程两边同乘$x - 2$，得：$1 - x = x - 2 - 3$，
解得$x = 3$，
检验：当$x = 3$时，$x - 2\neq 0$，
∴原分式方程的根为$x = 3$；
(3)$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$，
去分母，得$2(x - 1) = x + 3$，
去括号，得$2x - 2 = x + 3$，
移项，合并同类项，得$x = 5$，
经检验，$x = 5$是原分式方程的解，
∴$x = 5$；
(4)方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，
得$(x - 2)^{2} - (x + 2)(x - 2) = 16$，
解得$x = -2$，
检验：当$x = -2$时，$(x + 2)(x - 2) = 0$，
∴原分式方程无解。