《2025年春如金卷数学暑假作业本八年级》

1. 下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是 ()
A. $ a(x + y) = ax + ay $
B. $ x^{2} - 4x + 4 = x(x - 4) + 4 $
C. $ 10x^{2} - 5x = 5x(2x - 1) $
D. $ x^{2} - 16 + 16x = (x + 4)(x - 4) $

答案： C

2. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”. 例如:$ 4 = 2^{2} - 0^{2} $,$ 12 = 4^{2} - 2^{2} $,$ 20 = 6^{2} - 4^{2} $,所以 4,12,20 都是“神秘数”. 下面各个数中,是“神秘数”的是 ()
A. 60
B. 62
C. 66
D. 88

答案： A

3. 下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是 ()
A. $ x^{2} - 9 $
B. $ x^{2} + 16 $
C. $ x^{2} + 2x + 1 $
D. $ 4x^{2} - 4x + 1 $

答案： A

4. 已知多项式 $ 9x^{2} - (m + 6)x + 4 $ 可以按完全平方公式进行因式分解,则 $ m = $______.

答案： -18 或 6

5. 已知 $ a = \frac{1}{20}x - y + 20 $,$ b = \frac{1}{20}x - y + 19 $,$ c = \frac{1}{20}x + 21 - y $,那么代数式 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac $ 的值是______.

答案： 解:因为 $ a = \frac { 1 } { 20 } x - y + 20 $，$ b = \frac { 1 } { 20 } x - y + 19 $，$ c = \frac { 1 } { 20 } x + 21 - y $，
所以 $ a - b = 1 $，$ b - c = - 2 $，$ a - c = - 1 $，
$\begin{aligned}&a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a b - b c - a c\\=&\frac { 1 } { 2 } \times ( 2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } - 2 a b - 2 b c - 2 a c )\\=&\frac { 1 } { 2 } [ ( a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } ) + ( b ^ { 2 } - 2 b c + c ^ { 2 } ) + ( a ^ { 2 } - 2 a c + c ^ { 2 } ) ]\end{aligned}$
![img alt=6]
$\begin{aligned}&=\frac { 1 } { 2 } [ ( a - b ) ^ { 2 } + ( b - c ) ^ { 2 } + ( a - c ) ^ { 2 } ]\\&=\frac { 1 } { 2 } \times [ 1 ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } ]\\&=\frac { 1 } { 2 } \times 6\\&=3.\end{aligned}$
故答案为:3.

6. 因式分解
(1)$ 4x^{2} - 9y^{2} $;
(2)$ 3x^{2}y^{2} + 12xy + 12 $;
(3)$ a^{4} - 8a^{2} + 16 $;
(4)$ m^{2}(m - n) + n^{2}(n - m) $;
(5)$ (a + 3b)(a - 2b) + (a + 3b)(3a - 4b) $;
(6)$ (4x^{2} + 1)^{2} - 16x^{2} $.

答案： 解:
(1) $ 4 x ^ { 2 } - 9 y ^ { 2 } = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x - 3 y ) $；
(2) $ 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 12 x y + 12 = 3 [ ( x y ) ^ { 2 } + 4 x y + 4 ] = 3 ( x y + 2 ) ^ { 2 } $，
(3) $ a ^ { 4 } - 8 a ^ { 2 } + 16 = ( a ^ { 2 } - 4 ) ^ { 2 } = ( a + 2 ) ^ { 2 } ( a - 2 ) ^ { 2 } $，
(4) $ m ^ { 2 } ( m - n ) + n ^ { 2 } ( n - m ) = ( m - n ) ( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) = ( m + n ) ( m - n ) ^ { 2 } $
(5) 原式 $ = ( a + 3 b ) ( a - 2 b + 3 a - 4 b ) = ( a + 3 b ) ( 4 a - 6 b ) = 2 ( a + 3 b ) ( 2 a - 3 b ) $
(6) 原式 $ = ( 4 x ^ { 2 } + 1 + 4 x ) ( 4 x ^ { 2 } + 1 - 4 x ) = ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } $