《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册湘教版》

13.几何直观 已知:直线AB与直线CD交于点O,过点O作OE⊥AB.(M7204006)
(1)如图1,OP为∠AOD内的一条射线,当∠1与∠2满足什么条件时,OP⊥CD?请说明理由.
(2)如图2,若∠AOC = $\frac{1}{2}$∠BOC,求∠COE的度数.
(3)如图3,在(2)的条件下,过点O作OF⊥CD,经过点O画直线MN,若射线OM平分∠BOD,请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角.
　　

答案： 解析　
(1)当∠1 = ∠2时，OP⊥CD，理由如下：
∵OE⊥AB，
∴∠AOC + ∠1 = 90°，
∵∠1 = ∠2，
∴∠AOC + ∠2 = ∠COP = 90°，
∴OP⊥CD.
(2)
∵∠AOC + ∠BOC = 180°，且∠AOC = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠AOC = 60°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE = 90°，
∴∠COE = 90° - 60° = 30°.
(3)由
(2)知∠AOC = 60°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM = ∠DOM = ∠AON = ∠CON = 30°，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOE = ∠COF = 90°，
∴∠AOC = ∠EOF = 60°，∠BOF = 180° - 90° - 60° = 30°，
∴∠AOD = ∠BOC = ∠FON = ∠EOM = 180° - 60° = 120° = 2∠EOF，
∴与2∠EOF度数相等的角是∠AOD、∠BOC、∠FON、∠EOM.

14.几何直观 O为直线DA上一点,OB⊥OF,OE是∠AOB的平分线.(M77204006)
(1)如图1,若∠AOB = 130°,求∠EOF的度数.
(2)如图1,若∠AOB = α,90°＜α＜180°,求∠EOF的度数(用含α的代数式表示).
(3)若∠AOB = α,0°＜α＜90°,请在图2中画出射线OF,使得(2)中∠EOF的结果仍然成立.
　　　

答案：
解析　
(1)
∵∠AOB = 130°，OE是∠AOB的平分线，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×130° = 65°，
∵OB⊥OF，
∴∠BOF = 90°，
∴∠AOF = ∠AOB - ∠BOF = 130° - 90° = 40°，
∴∠EOF = ∠AOE - ∠AOF = 65° - 40° = 25°.
(2)
∵∠AOB = α，90° ＜ α ＜ 180°，OE是∠AOB的平分线，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$α，
∵∠BOF = 90°，
∴∠AOF = α - 90°，
∴∠EOF = ∠AOE - ∠AOF = $\frac{1}{2}$α - (α - 90°) = 90° - $\frac{1}{2}$α.
(3)如图，
∵∠AOB = α，
∴∠BOE = ∠AOE = $\frac{1}{2}$α，
∵∠BOF = 90°，
∴∠EOF = ∠BOF - ∠BOE = 90° - $\frac{1}{2}$α.