《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册湘教版》

7. 情境题·现实生活 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车.图 1 是一辆共享单车的实物图，图 2 是其示意图，其中 AB，CD 都与地面 l 平行，∠BCD = 55°，∠BAC = 52°.当∠MAC 等于多少度时，AM 与 BC 平行?

答案： 解析 由题意知AB//CD，
∴∠BAC + ∠ACD = 180°，即∠BAC + ∠ACB + ∠BCD = 180°，
∵∠BCD = 55°，∠BAC = 52°，
∴∠ACB = 73°，
∴当∠MAC = ∠ACB = 73°时，AM//BC.

8.（2024 广东茂名高州期末）【阅读探究】如图 1，已知 AB//CD，E、F 分别是 AB、CD 上的点，点 M 在 AB、CD 两平行线之间，∠AEM = 45°，∠CFM = 25°，求∠EMF 的度数.

解：如图 1，过点 M 作 MN//AB，
∵ AB//CD，∴ MN//AB//CD，
∴ ∠EMN = ∠AEM = 45°，∠FMN = ∠CFM = 25°，
∴ ∠EMF = ∠EMN + ∠FMN = 45°+25° = 70°.
从上面的推理过程，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM 和∠CFM“凑”在一起，得出∠EMF 的度数，使问题得以解决.
【方法运用】如图 2，已知直线 m//n，AB 是一个平面镜，光线从直线 m 上的点 O 射出，在平面镜 AB 上的点 P 处反射后，经过直线 n 上的点 Q，我们称 OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA = ∠QPB.
（1）由图 2 写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ 之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图 3，再放置 3 块平面镜，其中两块平面镜在直线 m 和 n 上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形 ABCD，光线从点 O 以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…，直接写出∠OPQ 和∠ORQ 的数量关系.
【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界.数学活动课上，老师把山路抽象成如图 4 所示的几何图形，并提出了一个问题：在图 4 中，AB//CD，∠B = 125°，∠PQC = 65°，∠C = 145°，求∠BPQ 的度数.请你帮忙解答一下吧.

答案：
解析 【方法运用】
(1)∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP，理由如下：
如图1，过点P作PE//OA，则PE//BQ，∠AOP = ∠OPE，
∴∠BQP = ∠QPE，
∵∠OPQ = ∠OPE + ∠QPE，
∴∠OPQ = ∠AOP + ∠BQP.

(2)∠OPQ = ∠ORQ.
详解：由
(1)得，∠AOP + ∠BQP = ∠OPQ，同理可得，∠DOR + ∠CQR = ∠ORQ，由镜面反射的性质可得∠AOP = ∠DOR，∠BQP = ∠CQR，
∴∠OPQ = ∠ORQ.
【应用拓展】
如图2，过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，则AB//PM//QN//CD，

∴∠ABP + ∠BPM = 180°，∠MPQ = ∠PQN，∠DCQ + ∠CQN = 180°，
∵∠B = 125°，∠C = 145°，
∴∠BPM = 180° - 125° = 55°，∠CQN = 180° - 145° = 35°，
∵∠PQC = 65°，
∴∠PQN = ∠PQC - ∠CQN = 65° - 35° = 30°，
∴∠QPM = ∠PQN = 30°，
∴∠BPQ = ∠BPM + ∠QPM = 55° + 30° = 85°.