《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册湘教版》

1. 新考向·过程性学习试题（2023陕西西安期中）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用做进一步探讨，请你阅读下列解题思路：
例1：已知a + b = 4，ab = 3，求a² + b²的值.
解：∵ a + b = 4，ab = 3，
∴ a² + b² = (a + b)² - 2ab = 4² - 2×3 = 10.
例2：若y满足(10 - y)(y - 2) = 16，求(10 - y)² + (y - 2)²的值.
解：设10 - y = a，y - 2 = b，
则a + b = (10 - y) + (y - 2) = 8，ab = (10 - y)(y - 2) = 16.这样就可以利用例1中的方法进行求值了！
请结合以上两个例题解答下列问题：
(1)若a + b = 8，ab = 12，求a² + b²的值.
(2)若x满足(18 - x)(x - 5) = 30，求(18 - x)² + (x - 5)²的值.

答案： 解析 （1）
∵ a + b = 8，ab = 12，
∴ a² + b² = (a + b)² - 2ab = 8² - 2×12 = 40.
（2）设 18 - x = a，x - 5 = b，
则 a + b = 13，ab = (18 - x)(x - 5) = 30，
∴ (18 - x)² + (x - 5)² = a² + b² = 13² - 2×30 = 109.

2. 方程思想 若(x - 2)(x² + ax + b)的积中不含x的二次项和一次项，求(2a + b + 1)(2a - b - 1) - (a + 2b)( - 2b + a) + 2b的值.

答案： 解析 (x - 2)(x² + ax + b) = x³ + ax² + bx - 2x² - 2ax - 2b = x³ + (a - 2)x² + (b - 2a)x - 2b，
∵ (x - 2)(x² + ax + b)的积中不含 x 的二次项和一次项，
∴ a - 2 = 0 且 b - 2a = 0，解得 a = 2，b = 4.
(2a + b + 1)(2a - b - 1) - (a + 2b)( - 2b + a) + 2b = (2a)² - (b + 1)² - (a² - 4b²) + 2b = 4a² - b² - 2b - 1 - a² + 4b² + 2b = 3a² + 3b² - 1，当 a = 2，b = 4 时，原式 = 3×2² + 3×4² - 1 = 12 + 48 - 1 = 59.

3. 已知有理数a，b，c满足a² + b² + c² = 4，求(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²的最大值.

答案： 解析

∵ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc，
∴ 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)，
∵ (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 2a² + 2b² + 2c² - (2ab + 2ac + 2bc)，且 a² + b² + c² = 4，
∴ (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 3(a² + b² + c²) - (a + b + c)² = 12 - (a + b + c)²，
∵ (a + b + c)²≥0，
∴ (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² 的最大值为 12.

4.（2024湖南怀化洪江期中）已知|2x - 3y + 5| + (x + 2y - 1)² = 0，将代数式x(x - 4y) + (2x + y)(2x - y) - (2x - y)²先化简再求值.

答案： 解析

∵ |2x - 3y + 5| + (x + 2y - 1)² = 0，
∴ {2x - 3y + 5 = 0，x + 2y - 1 = 0，
∴ {x = - 1，y = 1，
∴ x(x - 4y) + (2x + y)(2x - y) - (2x - y)² = x² - 4xy + 4x² - y² - 4x² + 4xy - y² = x² - 2y² = (- 1)² - 2×1² = - 1.