《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册湘教版》

11.数形结合思想 (2024湖南永州东安期中,9,)如图，根据阴影部分面积和边长为$a$的正方形的面积关系可以得到的数学公式是(M7201003) （ ）


A.$a(a + b) = a^2 + ab$
B.$a(a - b) = a^2 - ab$
C.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

答案： D 阴影部分是正方形，其边长为$a - b$，阴影部分的面积为$(a - b)^2$，根据题意可得$(a - b)^2=a^2-2(a - b)\cdot b - b^2=a^2-2ab + b^2$.故选D.

12.(2024湖南郴州汝城期中,7,)已知$(m - n)^2 = 32$，$(m + n)^2 = 200$，则$m^2 + n^2$的值为 （ ）
A.116
B.117
C.118
D.232

答案： A $\because (m - n)^2 = 32$，$\therefore m^2-2mn + n^2 = 32$①.$\because (m + n)^2 = 200$，$\therefore m^2+2mn + n^2 = 200$②.由①+②，得$m^2-2mn + n^2+m^2+2mn + n^2 = 32+200$，整理，得$2(m^2 + n^2)=232$，$\therefore m^2 + n^2 = 116$.故选A.

13.(2024湖南岳阳君山期中,23,)化简：$(2a + 3b)(2a - 3b) - (-a - 3b)^2$.(M7201003)

答案： 解析 原式$=4a^2-9b^2-(a^2+6ab + 9b^2)=4a^2-9b^2-a^2-6ab - 9b^2 = 3a^2-18b^2-6ab$.

14.(2024湖南长沙周南中学期中,23,)已知$x + y = 6$，$xy = 7$，求$(-3x + y)^2 + (-x + 3y)^2$的值.(M7201003)

答案： 解析 原式$=9x^2-6xy + y^2+x^2-6xy + 9y^2 = 10x^2-12xy + 10y^2$，因为$x + y = 6$，所以$(x + y)^2=x^2+2xy + y^2 = 36$，又$xy = 7$，所以$x^2 + y^2 = 22$，所以原式$=10(x^2 + y^2)-12xy = 10\times22-12\times7 = 220 - 84 = 136$.

15.几何直观 新考向·过程性学习试题 (2024山东枣庄实验中学期中)数形结合思想是一种重要的数学思想，借助图形的直观性，可以帮助学生理解数学问题.(M7201003)
(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1：______________.
图2：______________.
图3：______________.
(2)用4个完全相同且长和宽分别为$a$和$b$的长方形纸片拼成一个如图4所示的正方形纸片，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出$(a + b)^2$，$(a - b)^2$，$ab$之间的等量关系.
(3)根据(1)(2)中你探索发现的结论，完成下列计算：
①已知$m - n = 10$，$mn = -16$，求代数式$m^2 + n^2$，$m + n$的值.(写出过程)
②若$(2023 - m)(2024 - m) = 6$，则$(2023 - m)^2 + (2024 - m)^2 =$________.(直接写出结果)

答案： 解析
(1)题图1：$(a + b)^2=a^2+2ab + b^2$.
题图2：$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$.
题图3：$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$.
(2)$(a + b)^2-(a - b)^2 = 4ab$.
(3)①$\because m - n = 10$，$\therefore (m - n)^2 = 100$，即$m^2 + n^2-2mn = 100$，$\therefore m^2 + n^2 = 100+2mn$，将$mn=-16$代入，得$m^2 + n^2 = 100+2\times(-16)=68$.
$\because (m + n)^2-(m - n)^2 = 4mn$，$\therefore (m + n)^2=(m - n)^2+4mn = 10^2+4\times(-16)=36$，$\therefore m + n = 6$或$-6$.
②$(2023 - m)^2+(2024 - m)^2=[(2023 - m)-(2024 - m)]^2+2(2023 - m)(2024 - m)=1+2(2023 - m)(2024 - m)$，$\because (2023 - m)(2024 - m)=6$，$\therefore (2023 - m)^2+(2024 - m)^2 = 1+2\times6 = 13$，故答案为13.