《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册湘教版》

13.（2024广西全州月考,22,★★☆）（M7202006）
（1）用“＞”“＜”或“=”填空：
$\sqrt{1}$____$\sqrt{2}$____$\sqrt{3}$____$\sqrt{4}$.
（2）由上可知：
①$|1 - \sqrt{2}| =$______；②$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| =$______；③$|\sqrt{3} - 2| =$______.
（3）计算：$|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - \sqrt{4}| + \cdots + |\sqrt{99} - \sqrt{100}|$.

答案： 13 解析
(1)$\because 1＜2＜3＜4$,
∴ $\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$,故答案为＜;＜;＜.
(2)①$|1 - \sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$. ②$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
③$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$.
(3)$|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-\sqrt{4}|+\cdots+|\sqrt{99}-\sqrt{100}|$
=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}-1=10 - 1=9$.

14.（2024贵州安顺平坝月考,22,★★☆）小明制作了一张边长为16 cm的正方形贺卡，他想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3 : 2，面积为420 cm².
（1）求此长方形信封的长和宽.
（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由.

答案： 14 解析
(1)$\because$ 信封的长、宽之比为3∶2,
$\therefore$ 可设长方形信封的长为3x cm,宽为2x cm(x＞0),
由题意得3x·2x=420,
∴ $x=\sqrt{70}$(负值舍去),
$\therefore$ 长方形信封的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.
(2)$\because 70＞64$,
∴ $\sqrt{70}＞8$,
∴ $2\sqrt{70}＞16$,
即信封的宽大于正方形贺卡的边长,
∴ 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封.

例 （2024湖南益阳期末）三个数$2\sqrt{14}、\sqrt{226}、15$的大小关系是（ ）
A.$2\sqrt{14} ＜ 15 ＜ \sqrt{226}$
B.$\sqrt{226} ＜ 15 ＜ 2\sqrt{14}$
C.$2\sqrt{14} ＜ \sqrt{226} ＜ 15$
D.$\sqrt{226} ＜ 2\sqrt{14} ＜ 15$

答案： 例 A $\because 9＜14＜16$,
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{14}＜\sqrt{16}$,即3＜$\sqrt{14}$＜4,
∴ 6＜2$\sqrt{14}$＜8,
∴ 2$\sqrt{14}$＜15,$\because 225＜226$,
∴ $\sqrt{225}＜\sqrt{226}$,即15＜$\sqrt{226}$,
∴ 2$\sqrt{14}$＜15＜$\sqrt{226}$. 故选A.

15.运算能力（2024山东德州临邑期末）请阅读下面材料，并完成相应的任务.
设$a,b$是有理数，且满足$a + \sqrt{2}b = 3 - 2\sqrt{2}$，求$b^a$的值.
解：由题意，得$(a - 3) + \sqrt{2}(b + 2) = 0$.
$\because a,b$都是有理数，
$\therefore a - 3,b + 2$也是有理数.
$\because \sqrt{2}$是无理数，
$\therefore b + 2 = 0,a - 3 = 0$，即$a = 3,b = - 2$.
$\therefore b^a = (-2)^3 = - 8$.
根据阅读材料，解决问题：
设$x,y$都是有理数，且满足$x^2 - 2y + \sqrt{5}y = 10 + 3\sqrt{5}$，求$x + y$的值.

答案： 15 解析 $\because x^{2}-2y+\sqrt{5}y=10+3\sqrt{5}$,
$\therefore (x^{2}-2y - 10)+(\sqrt{5}y-3\sqrt{5})=0$,
$\therefore (x^{2}-2y - 10)+\sqrt{5}(y - 3)=0$.
$\because x,y$都是有理数,
∴ $x^{2}-2y - 10,y - 3$也是有理数.
$\because \sqrt{5}$是无理数,
∴ $x^{2}-2y - 10=0,y - 3=0$,解得y=3,$x=\pm4$.
当x=4,y=3时,x+y=7;
当x=-4,y=3时,x+y=-1.
综上所述,x+y的值为7或-1.

变式
1.作差法比较大小 比较大小：$2 - \sqrt{3}$______1（填“＞”“＜”或“=”）.

答案： 变式1 答案 ＜
解析 $\because 2-\sqrt{3}-1=1-\sqrt{3}＜0$,
∴ $2-\sqrt{3}＜1$.

2.估算法比较大小 比较下列实数的大小：$\frac{\sqrt{10} - 1}{8}$______$\frac{1}{4}$（填“＞”“＜”或“=”）.

答案： 变式2 答案 ＞
解析 $\because 3＜\sqrt{10}＜4$,
∴ 2＜$\sqrt{10}-1$＜3,
∴ $\frac{1}{4}＜\frac{\sqrt{10}-1}{8}＜\frac{3}{8}$,
即$\frac{\sqrt{10}-1}{8}＞\frac{1}{4}$.