《2025年赢在假期期末加寒假八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

15. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$BE$是角平分线，$AD\perp BE$，垂足为$D$. 求证：$\angle 2=\angle 1+\angle C$.

答案： 证明：延长 $AD$ 交 $BC$ 于点 $F$，$\because \angle ABD=\angle FBD$，$BD = BD$，$\angle ADB=\angle FDB = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ABD\cong \triangle FBD(ASA)$.$\therefore \angle 2=\angle DFB$. 又 $\because \angle DFB=\angle 1+\angle C$，$\therefore \angle 2=\angle 1+\angle C$.

16. 如图所示，在四边形$ABCD$中，已知$AB = CD$，$AD = CB$，$DE = BF$，且点$E$，$F$分别在$AD$，$CB$的延长线上. 求证：$BE = DF$.

答案： 证明：连接 $BD$，在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CDB$ 中，$\begin{cases}AB = CD,\\BD = DB,\\AD = CB,\end{cases}$ $\therefore \triangle ABD\cong \triangle CDB$.$\therefore \angle ADB=\angle CBD$.$\therefore \angle EDB=\angle FBD$. 在 $\triangle DEB$ 和 $\triangle BFD$ 中，$\begin{cases}DE = BF,\\\angle EDB=\angle FBD,\\DB = BD,\end{cases}$ $\therefore \triangle DEB\cong \triangle BFD$.$\therefore BE = DF$.

17. 如图(a)所示，$E$，$F$分别为线段$AC$上的两个动点，且$DE\perp AC$于点$E$，$BF\perp AC$于点$F$，若$AB = CD$，$AF = CE$，$BD$交$AC$于点$M$.
(1)求证：$MB = MD$，$ME = MF$；
(2)当$E$，$F$两点移动至如图(b)所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？（只写结论，不用证明）

答案：
(1) 证明：在 $Rt\triangle ABF$ 和 $Rt\triangle CDE$ 中，$\begin{cases}AB = CD,\\AF = CE,\end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE(HL)$，$\therefore BF = DE$. 在 $\triangle BMF$ 和 $\triangle DME$ 中，$\begin{cases}\angle BMF=\angle DME,\\\angle BFM=\angle DEM,\\BF = DE,\end{cases}$ $\therefore \triangle BMF\cong \triangle DME(AAS)$，$\therefore MB = MD$，$ME = MF$.
(2) 解：仍成立.