《2025年赢在假期期末加寒假八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

10. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = CA$，$\angle ABC=\angle C = 60^{\circ}$，$BD = CE$，$AD$与$BE$相交于点$F$，则$\angle AFE = $__________.

答案： $60^{\circ}$

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$. 作$AD\perp AB$交$BC$的延长线于点$D$，作$AE// BD$，$CE\perp AC$，且$AE$，$CE$相交于点$E$. 求证：$AD = CE$.

答案： 证明：$\because AE// BD$，$\therefore \angle EAC=\angle ACB$.$\because AB = AC$，$\therefore \angle B=\angle ACB$.$\therefore \angle EAC=\angle B$. 又 $\because \angle BAD=\angle ACE = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$\therefore \triangle ABD\cong \triangle CAE$.$\therefore AD = CE$.

12. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$. $F$为$AB$延长线上一点，点$E$在$BC$上，$BE = BF$，连接$AE$，$EF$和$CF$. 求证：$AE = CF$.

答案： 证明：$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，$F$ 为 $AB$ 延长线上一点，$\therefore \angle ABC=\angle CBF = 90^{\circ}$. 又 $\because AB = BC$，$BE = BF$，$\therefore \triangle ABE\cong \triangle CBF$.$\therefore AE = CF$.

13. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，点$D$在边$AB$上，使$DB = BC$，过点$D$作$EF\perp AC$，分别交$AC$，$CB$的延长线于点$E$，$F$. 求证：$AB = BF$.

答案： 证明：$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，$EF\perp AC$，$\therefore \angle ABF=\angle AED = 90^{\circ}$，又 $\because \angle BDF=\angle EDA$，$\therefore \angle A=\angle F$. 又 $\because \angle FBD=\angle ABC$，$\angle A=\angle F$，$DB = BC$，$\therefore \triangle FBD\cong \triangle ABC$，$\therefore AB = BF$.

14. 如图，在四边形$ABCD$中，已知$BD$平分$\angle ABC$，$\angle A+\angle C = 180^{\circ}$，求证：$AD = CD$.

答案： 证明：过点 $D$ 作 $DE\perp BA$，交 $BA$ 的延长线于点 $E$，过点 $D$ 作 $DF\perp BC$，垂足为 $F$，则 $DE = DF$.$\because \angle BAD+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle BAD+\angle EAD = 180^{\circ}$，$\therefore \angle EAD=\angle C$. 在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 中，$\begin{cases}\angle EAD=\angle C,\\\angle AED=\angle CFD,\\DE = DF,\end{cases}$ $\therefore \triangle ADE\cong \triangle CDF(AAS)$，$\therefore AD = CD$.