《2025年赢在假期期末加寒假八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

13. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的______.

答案： 13.一半

例题 如图所示，点E，F在BC上，BE = CF，∠A = ∠D，∠B = ∠C，AF与DE交于点O.
(1)求证：AB = DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由.

分析
由已知条件易证△ABF≌△DCE，从而可得AB = DC，∠AFB = ∠DEC，进而可得OE = OF.
解 (1)证明：∵BE = CF，∴BE + EF = CF + EF，即BF = CE.
在△ABF与△DCE中，$\begin{cases} \angle A=\angle D,(\text{已知}) \\ \angle B=\angle C,(\text{已知}) \\ BF = CE,(\text{已证}) \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE.(AAS)∴AB = DC.(全等三角形的对应边相等)
(2)解：△OEF为等腰三角形. 理由：由(1)知，△ABF≌△DCE，∴∠AFB = ∠DEC，(全等三角形的对应角相等)∴OE = OF.(等角对等边)

答案：

14. 用尺规作角的平分线是数学中的基本作用，应熟练掌握. 另外，以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，其原因是若以等于或小于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，则两弧交点不明显或根本无交点.

答案：

15. (1)角平分线的性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
(2)角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
(3)在三角形中，三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

答案：

例题 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P. 过点P作AB，AC(或延长线)的垂线，垂足分别为M，N. 求证：BM = CN.

分析
要证BM = CN，由图形特征可构造以BM，CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等. 考虑∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB，PC，则利用线段的垂直平分线和角平分线的知识即可解决.
证明 ∵AP是角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM = PN(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等).
又∵PD是BC的垂直平分线，∴PB = PC(线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等).
由PB = PC，PM = PN，故Rt△PBM≌Rt△PCN(HL). ∴BM = CN.

答案：