《2026年一本密卷高考数学》

7. (2025·陕西西安质量检测)已知集合 $ A = \{ x | - x ^ { 2 } + 5 x + 6 ＞ 0 \} $，$ B = \{ x | - k ＜ x ＜ 2 k + 1 \} $，若“$ x \in A $”是“$ x \in B $”的必要不充分条件，则实数 $ k $ 的可能取值为(AB)

A.$ - 2 $
B.$ \frac { 6 } { 7 } $
C.$ \frac { 8 } { 7 } $
D.2

答案： 7.AB 由题意集合$A=\{x\mid - x^{2}+5x + 6＞0\}=(-1,6)$，$B=\{x\mid - k＜x＜2k + 1\}$，因为$x\in A$”是$x\in B$”的必要不充分条件，故$B$是$A$的真子集，当$B=\varnothing$时，则$-k\geqslant2k + 1$，即$k\leqslant - \frac{1}{3}$时，符合题意；当$B\neq\varnothing$时，则$\begin{cases}2k + 1\leqslant6\\ - k\geqslant - 1\\ - k＜2k + 1\end{cases}$，所以$- \frac{1}{3}＜k\leqslant1$.综上，实数$k$的范围为$(-\infty,1]$，结合选项可知A、B符合题意.故选AB.

8. (2025·湖南邵阳质量检测)若正数 $ x $，$ y $ 满足 $ 2 x + y = x y $，则(BCD)

A.$ x y \leq 8 $
B.$ 8 x + y \geq 18 $
C.$ \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 4 } { y ^ { 2 } } \geq \frac { 1 } { 2 } $
D.$ \frac { 3 } { x - 1 } + \frac { 1 } { y - 2 } \geq \sqrt { 6 } $

答案： 8.BCD 对于A，正数$x,y$，则$xy = 2x + y\geqslant2\sqrt{2xy}$，当且仅当$y = 2x = 4$时取等号，因此$xy\geqslant8$，A错误；
对于B，由$2x + y = xy$，得$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1$，
则$8x + y=(8x + y)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})=10+\frac{y}{x}+\frac{16x}{y}\geqslant10 + 2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{16x}{y}}=18$，
当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{16x}{y}$，即$y = 4x = 6$时取等号，B正确；
对于C，由$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1$，得$\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{y^{2}}+ \frac{4}{xy}=1$，
即$\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{y^{2}}=1 - \frac{4}{xy}$，而$xy\geqslant8$，
因此$\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{y^{2}}=1 - \frac{4}{xy}\geqslant1 - \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，C正确；
对于D，由$2x + y = xy$，得$xy - 2x - y + 2 = 2$，
即$(x - 1)(y - 2)=2$，
由$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1$，得$x＞1,y＞2$，
因此$\frac{3}{x - 1}+\frac{1}{y - 2}\geqslant2\sqrt{\frac{3}{x - 1}·\frac{1}{y - 2}}=\sqrt{6}$，
当且仅当$\frac{3}{x - 1}=\frac{1}{y - 2}$，
即$x - 1 = 3(y - 2)=\sqrt{6}$时取等号，D正确.
故选BCD.

9. (2025·广东韶关质量检测)已知集合 $ A = \{ - 2, 0, 2, a \} $，$ B = \{ x | | x - 1 | \leq 3 \} $，$ A \cap B = A $，写出满足条件的整数 $ a $ 的一个值-1.

答案： 9.$-1,1,3,4$中的任何一个值 因为$A\cap B = A$，所以$A\subseteq B$，又因为$B = \{x\mid|x - 1|\leqslant3\}=\{x\mid - 2\leqslant x\leqslant4\}$，故整数$a$所有可能取值为$-1,1,3,4$.
故答案为$-1,1,3,4$中的任何一个值.

10. (2025·江苏泰州质量检测)已知 $ m ＞ 0 $，使得不等式 $ - m ＜ x ＜ m $ 成立的一个充分不必要条件是 $ x ^ { 2 } - 2 x - 3 ＜ 0 $，则 $ m $ 的取值范围是$m\geqslant3$.

答案： 10.$m\geqslant3$ 不等式$x^{2}-2x - 3＜0\Leftrightarrow(x + 1)(x - 3)＜0$，解得$-1＜x＜3$，
依题意，$(-1,3)\subseteq(-m,m)$，
则$\begin{cases}m\geqslant3\\ - m\leqslant - 1\end{cases}$(等式不同时成立）
解得$m\geqslant3$.

11. (13 分)(2025·山东菏泽质量检测)在① $ A \cap B = A $；② $ A \cap B = \varnothing $ 这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答.
已知集合 $ A = \{ x | 2 a - 1 ＜ x ＜ a \} $，$ B = \{ x | x ^ { 2 } \leq 1 \} $.
(1)若 $ a = - 1 $，求 $ ( \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cup B $；
(2)若①，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 11.解：
(1)$B = \{x\mid x^{2}\leqslant1\}=\{x\mid - 1\leqslant x\leqslant1\}$，
当$a = - 1$时，$A = \{x\mid - 3＜x＜ - 1\}$，
所以$\complement_{R}A = \{x\mid x\leqslant - 3$或$x\geqslant - 1\}$
所以$(\complement_{R}A)\cup B = \{x\mid x\leqslant - 3$或$x\geqslant - 1\}$.
(2)由
(1)知$B = \{x\mid - 1\leqslant x\leqslant1\}$，
若选①：由$A\cap B = A$，得$A\subseteq B$
当$2a - 1\geqslant a$，即$a\geqslant1$时，$A = \varnothing$，符合题意；
当$A\neq\varnothing$时，$\begin{cases}2a - 1＜a\\2a - 1\geqslant - 1\\a\leqslant1\end{cases}$
解得$0\leqslant a＜1$.
综上所述，实数$a$的取值范围是$[0,+\infty)$
若选②：当$A = \varnothing$时，$2a - 1\geqslant a$，即$a\geqslant1$；
当$A\neq\varnothing$时，
$\begin{cases}2a - 1＜a\\2a - 1＜a\\a\leqslant - 1\\2a - 1\geqslant1\end{cases}$
解得$a\leqslant - 1$或$a$不存在.
综上所述，实数$a$的取值范围是$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$.

12. (15 分)(2025·山东临沂质量检测)已知命题：“$ \exists x \in \{ x | - 1 ＜ x ＜ 1 \} $，使等式 $ 4 x ^ { 2 } - x - m = 0 $ 成立”是真命题.
(1)求实数 $ m $ 的取值集合 $ M $；
(2)设不等式 $ ( x - a ) ( x + a - 2 ) ＜ 0 $ 的解集为 $ N $，若 $ x \in \mathbf { N } $ 是 $ x \in M $ 的必要条件，求 $ a $ 的取值范围.

答案： 12.解：
(1)由题意，方程$m = 4x^{2}-x$在$(-1,1)$上有解，
令$f(x)=4x^{2}-x=(2x-\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{16}(-1＜x＜1)$，只需$m$在$f(x)$值域内，
当$x=\frac{1}{8}$时，$f(x)_{\min}=-\frac{1}{16}$，
当$x = - 1$时，$f(x)=5$，
所以$f(x)$值域为$[-\frac{1}{16},5)$，
$\therefore m$的取值集合为$M=\{m\mid-\frac{1}{16}\leqslant m＜5\}$.
(2)由题意，$M\subseteq N$，显然$N$不为空集.
①当$a＞2 - a$，即$a＞1$时，$N=(2 - a,a)$，
$\begin{cases}2 - a＜-\frac{1}{16}\\a\geqslant5\\a＞1\end{cases},\therefore a\geqslant5$；
②当$a = 2 - a$，即$a = 1$时，$N = \varnothing$，不合题意舍去；
③当$a＜2 - a$，即$a＜1$时，$N=(a,2 - a)$.
$\begin{cases}2 - a\geqslant5\\a＜-\frac{1}{16}\\a＜1\end{cases}$
$\therefore a\leqslant - 3$.
综上可得$a\geqslant5$或$a\leqslant - 3$.