《2026年一本密卷高考数学》

29. 社会人口学研究发现，一个家庭有 $ X $ 个孩子的概率模型近似如下（$ X $ 的取值为 $ 0 $，$ 1 $，$ 2 $，$ 3 $ 外的数值的概率视为 0），其中 $ \alpha ＞ 0 $，$ 0 ＜ p ＜ 1 $。每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 $\frac{1}{2}$ 且相互独立。

(1) 若 $ p = \frac{1}{2} $，求 $ \alpha $ 及一个家庭中男孩比女孩多的概率（若一个家庭恰有一个男孩，视为该家庭男孩比女孩多）；
(2) 为了调控未来人口结构，可以调整参数 $ p $，其受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）。
(ⅰ) 若希望 $ P(X = 2) $ 增大，则 $ p $ 的值应增大还是减小？
(ⅱ) 是否存在 $ p $ 的值使得 $ E(X) = \frac{5}{3} $？说明理由。

答案： 29.解：
(1)由题意得$\frac{\alpha}{p}+\alpha+\alpha(1 - p)+\alpha(1 - p)^2=2\alpha+\alpha+\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\alpha=\frac{15}{4}\alpha = 1$，
解得$\alpha=\frac{4}{15}$.
记事件$A_i$表示一个家庭有$i$个孩子（$i = 0,1,2,3$），事件$B$表示一个家庭的男孩比女孩多，
则$P(B|A_0)=0$，$P(B|A_1)=C_2^1\frac{1}{2}$，$P(B|A_2)=C_2^2(\frac{1}{2})^2$，$P(B|A_3)=C_2^2(\frac{1}{2})^3+C_3^3(\frac{1}{2})^3$，
由全概率公式，得$P(B)=\sum_{i = 0}^{3}P(B|A_i)P(A_i)=\frac{1}{2}×\frac{\alpha}{p}+C_2^1\frac{1}{2}\alpha+[C_2^2(\frac{1}{2})^3+C_3^3(\frac{1}{2})^3]\alpha(1 - p)$，
又$p=\frac{1}{2}$，则$P(B)=\frac{3}{2}\alpha=\frac{2}{5}$.
(2)(ⅰ)由$\frac{\alpha}{p}+\alpha+\alpha(1 - p)+\alpha(1 - p)^2=1$，得$\frac{1}{\alpha}=p^2 - 3p+\frac{1}{p}+3$，
记$f(p)=p^2 - 3p+\frac{1}{p}+3$，$0 ＜ p ＜ 1$，
则$f^\prime(p)=\frac{2p^3 - 3p^2 - 1}{p^2}$，
记$g(p)=2p^3 - 3p^2 - 1$，则$g^\prime(p)=6p^2 - 6p=6p(p - 1)＜0$，故$g(p)$在$(0,1)$上单调递减.
所以$g(p)＜2×0^3 - 3×0^2 - 1=-1＜0$，
所以$f^\prime(p)＜0$，$f(p)$在$(0,1)$上单调递减.
因此增大$p$的取值，$\frac{1}{\alpha}$会减小，$\alpha$增大，即$P(X = 2)$增大.
(ⅱ)假设存在$p$使$E(X)=\frac{\alpha}{p}+2\alpha+3\alpha(1 - p)=\frac{5}{3}$，又$\frac{1}{\alpha}=p^2 - 3p+\frac{1}{p}+3$，
将上述两式相乘，得$\frac{1}{p}+5 - 3p=\frac{5p^2}{3}-5p+\frac{5}{3p}+5$，化简得$5p^3 - 6p^2+2 = 0$.
设$h(p)=5p^3 - 6p^2+2$，则$h^\prime(p)=15p^2 - 12p=3p(5p - 4)$，
则$h(p)$在$(0,\frac{4}{5})$上单调递减，在$(\frac{4}{5},1)$上单调递增，$h(p)$的最小值为$h(\frac{4}{5})=\frac{18}{25}＞0$，所以方程$5p^3 - 6p^2+2 = 0$无解.故不存在$p$使得$E(X)=\frac{5}{3}$.