《2026年一本密卷高考数学》

1. (2025·江苏苏州质量检测)已知集合 $ M = \{ x | x ^ { 2 } - 2 x - 3 ＜ 0 \} $，$ N = \{ x | x ^ { 2 } - a ＜ 0 \} $，若集合 $ M \cap N = N $，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ ( - \infty, 1 ] $
B.$ ( - \infty, 9 ] $
C.$ [ 1, 9 ] $
D.$ [ 1, 3 ] $

答案： 1.A 由$M=\{x\mid x^{2}-2x - 3＜0\}=\{x\mid - 1＜x＜3\}$，$M\cap N = N$，则$N\subseteq M$，
故若$a\leqslant0$，则$x^{2}＜a$，不等式无解，此时$N = \varnothing$，符合题意；
当$a＞0$时，$N=\{x\mid x^{2}-a＜0\}=\{x\mid - \sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}\}$，
结合$N\subseteq M$，则$- 1\leqslant - \sqrt{a}＜x＜\sqrt{a}\leqslant3$，解得$0＜a\leqslant1$，
综上可得$a\leqslant1$，故选A。

2. (2025·河南开封质量检测)设集合 $ A = \{ x | x ＜ 2 $ 或 $ x \geq 4 \} $，$ B = \{ x | a \leq x \leq a + 1 \} $，若 $ ( \complement _ { \mathbf { R } } A ) \cap B = \varnothing $，则 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ a \leq 1 $ 或 $ a ＞ 4 $
B.$ a ＜ 1 $ 或 $ a \geq 4 $
C.$ a ＜ 1 $
D.$ a ＞ 4 $

答案： 2.B 由集合$A = \{x\mid x＜2$或$x\geqslant4\}$，得$\complement_{R}A = \{x\mid2\leqslant x＜4\}$，又集合$B = \{x\mid a\leqslant x\leqslant a + 1\}$且$(\complement_{R}A)\cap B=\varnothing$，则$a + 1＜2$或$a\geqslant4$，即$a＜1$或$a\geqslant4$。故选B。

3. (2025·浙江杭州质量检测)“$ 2025 ^ { a } ＞ 2025 ^ { b } \geq 1 $”是“$ a ^ { 3 } ＞ b ^ { 3 } $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.A 由$2025^{a}＞2025^{b}\geqslant1$，且函数$y = 2025^{x}$为增函数，可得$a＞b\geqslant0$，令函数$f(x)=x^{3}$，易得$f(x)$单调递增，故当$a＞b\geqslant0$时，一定有$a^{3}＞b^{3}$，故充分性成立；但由$a^{3}＞b^{3}$只能推出$a＞b$，即必要性不成立.故$2025^{a}＞2025^{b}\geqslant1$”是$a^{3}＞b^{3}$”的充分不必要条件.故选A.

4. (2025·山东德州质量检测)命题“$ \exists x \in [ 1, 2 ] $，$ x ^ { 2 } + \ln x - 2 a \leq 0 $”为假命题，则实数 $ a $ 的取值范围为(A)

A.$ \left( - \infty, \frac { 1 } { 2 } \right) $
B.$ ( - \infty, 0 ) $
C.$ ( - \infty, \ln 2 + 2 ) $
D.$ ( - \infty, \ln 2 + 4 ) $

答案： 4.A 因为命题$\exists x\in[1,2],x^{2}+\ln x - 2a\leqslant0$”为假命题
等价于$\forall x\in[1,2],x^{2}+\ln x - 2a＞0$”为真命题，
所以$\forall x\in[1,2],2a＜x^{2}+\ln x$，
所以只需$2a＜(x^{2}+\ln x)_{\min}$.
设$f(x)=x^{2}+\ln x,x\in[1,2]$，
则$f(x)$在$[1,2]$上单增，所以$f(x)_{\min}=1$.
所以$2a＜1$，即$a＜\frac{1}{2}$.故选A.

5. (2025·江苏连云港质量检测)已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ 2 x + y = 1 $，则 $ \frac { y ^ { 2 } + x } { x y } $ 的最小值为(D)

A.4
B.$ 4 \sqrt { 2 } $
C.$ 4 \sqrt { 2 } + 1 $
D.$ 2 \sqrt { 2 } + 1 $

答案： 5.D $\frac{y^{2}+x}{xy}=\frac{y}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{x}+\frac{2x + y}{y}=1+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\geqslant1 + 2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{2x}{y}}=2\sqrt{2}+1$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$，即$y=\sqrt{2}x$，$x = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立.故选D.

6. (2025·山东青州质量检测)设正数 $ a $，$ b $ 满足 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 9 } { b } = 1 $，若不等式 $ a + b \geq - x ^ { 2 } + 4 x + 18 - m $ 对任意实数 $ x $ 恒成立，则实数 $ m $ 的取值范围是(D)

A.$ m \geq 3 $
B.$ m \leq 3 $
C.$ m \leq 6 $
D.$ m \geq 6 $

答案： 6.D 因为正数$a,b$满足$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}=1$，
则$a + b=(a + b)(\frac{1}{a}+\frac{9}{b})$
$=1 + 9+\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}\geqslant10 + 2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{9a}{b}}$，
因为$\frac{b}{a}×\frac{9a}{b}=9$，
所以$2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{9a}{b}}=2×3 = 6$，
则$a + b\geqslant10 + 6 = 16$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{9a}{b}$，
即$a = 4,b = 12$时等号成立.
因为不等式$a + b\geqslant - x^{2}+4x + 18 - m$对任意实数$x$恒成立，
即$(a + b)_{\min}\geqslant - x^{2}+4x + 18 - m$恒成立.
$(a + b)_{\min}=16$，所以$16\geqslant - x^{2}+4x + 18 - m$，
即$m\geqslant - x^{2}+4x + 2$对任意实数$x$恒成立.
令$y = - x^{2}+4x + 2= - (x - 2)^{2}+6$，
因为$- (x - 2)^{2}\leqslant0$，所以$y = - (x - 2)^{2}+6\leqslant6$，所以$m\geqslant6$.
故选D.