《2026年一本密卷高考数学》

1.(2025·广东省广州市天河区三模)已知向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 不共线，$ \lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 与 $ 3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b} $ 共线，则实数 $ \lambda $ 的值为(A)

A.$ \frac{3}{2} $
B.2
C.6
D.$ -\frac{2}{3} $

答案： 1.A 因为$\lambda a+b$与$3a+2b$共线，所以$\frac{\lambda}{3}=\frac{1}{2}$，解得：$\lambda=\frac{3}{2}$.故选A.

2.(2025·河南省安阳市三模)已知复数 $ z=\frac{1-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} $，则 $ z $ 在复平面内对应的点位于(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C 由已知得$z=\frac{1-i}{i}=\frac{-i(1-i)}{-i^{2}}=-1-i$，则$z$在复平面内对应的点的坐标为$(-1,-1)$，该点在第三象限.故选C.

3.(2025·浙江省金华市义乌市三模)已知 $ |\boldsymbol{a}|=1 $，$ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{5} $，向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \frac{\pi}{4} $，则 $ |\boldsymbol{b}|= $(B)

A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2\sqrt{2} $

答案： 3.B 由题意可得，$\vert a+b\vert^{2}=a^{2}+2a· b+b^{2}=1+2×\vert b\vert×1×\frac{\sqrt{2}}{2}+\vert b\vert^{2}=\vert b\vert^{2}+\sqrt{2}\vert b\vert+1=5$，解得$\vert b\vert=\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$(舍).故选B.

4.(2025·辽宁沈阳三模)已知向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}|=2 $，$ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) · \boldsymbol{b}=2 $，则 $ |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}| $ 等于(C)

A.12
B.10
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ \sqrt{10} $

答案： 4.C 由$(a+b)· b=2$有$a· b+\vert b\vert^{2}=2\Rightarrow a· b+\vert b\vert^{2}=2$，所以$\vert a+2b\vert^{2}=(a+2b)^{2}=a^{2}+4a· b+4b^{2}=\vert a\vert^{2}+4(a· b+\vert b\vert^{2})=4+4×2=12$，所以$\vert a+2b\vert=2\sqrt{3}$.故选C.

5.(2025·山西省吕梁市三模)已知向量 $ \overrightarrow{AB}=(m,n) $，$ \overrightarrow{AC}=(2,1) $，$ \overrightarrow{BC} · \overrightarrow{AC}=0 $，则 $ m^{2}+n^{2} $ 的最小值是(C)

A.$ \frac{125}{16} $
B.$ \sqrt{5} $
C.5
D.25

答案： 5.C $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(2-m,1-n)$，$\because\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AC}=0$，$\therefore2(2-m)+(1-n)=0$，即$2m+n=5$，所以$m^{2}+n^{2}=m^{2}+(5-2m)^{2}=5m^{2}-20m+25=5(m-2)^{2}+5$，所以最小值为$5$，当$m=2,n=1$时取得.故选C.

6.(2025·四川省攀枝花三模)$ \left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^{2025}= $(A)

A.$ \mathrm{i} $
B.$ -\mathrm{i} $
C.1
D.$ -1 $

答案： 6.A 由$(\frac{1+i}{1-i})^{2025}=(\frac{-i^{2}+i}{1-i})^{2025}=[\frac{(-i+1)i}{-i^{2}}]^{-2025}=i^{2024+1}=i$.故选A.

7.(2025·江苏如皋市三模)已知复数 $ z_{1},z_{2} $ 在复平面内对应的点分别为 $ Z_{1},Z_{2} $，则下列说法正确的有(BC)

A.若 $ z_{1}-z_{2}＜0 $，则 $ z_{1}＜z_{2} $
B.若 $ z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0 $，则 $ |z_{1}|=|z_{2}| $
C.若 $ |z_{1}+z_{2}|=|z_{1}-z_{2}| $，则 $ \overrightarrow{OZ_{1}} · \overrightarrow{OZ_{2}}=0 $
D.若 $ \overrightarrow{OZ_{1}} \perp \overrightarrow{OZ_{2}} $，则 $ z_{1} · z_{2}=0 $

答案： 7.BC $z_{1}-z_{2}＜0$，如$z_{1}=1+i,z_{2}=2+i$，此时$z_{1}$与$z_{2}$无大小关系，A错.$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=0$，$\therefore z_{1}^{2}=-z_{2}^{2}$，$\therefore\vert z_{1}^{2}\vert=\vert -z_{2}^{2}\vert$，$\therefore\vert z_{1}\vert=\vert z_{2}\vert$，B对.$z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di(a,b,c,d\in\mathbf{R})$，$\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert$，即$\sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}=\sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}$，则$ac+bd=0$，$\overrightarrow{OZ_{1}}·\overrightarrow{OZ_{2}}=ac+bd=0$，C对.设$\overrightarrow{OZ_{1}}=(1,1)$，$\overrightarrow{OZ_{2}}=(1,-1)$，此时$\overrightarrow{OZ_{1}}·\overrightarrow{OZ_{2}}=0$但$z_{1}z_{2}=2\neq0$，D错.故选BC.

8.(2025·河南省焦作市三模)在 $ \triangle OAB $ 中，若 $ \overrightarrow{OA}=(1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}) $，$ \overrightarrow{OB}=(1,1) $，点 $ C $ 在边 $ OA $ 上，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上，且 $ \overrightarrow{BC} · \overrightarrow{OA}=0 $，$ \overrightarrow{OD}=\lambda\left(\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}+\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}\right) $，$ \lambda \in \mathbf{R} $，则(AD)

A.$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6} $
B.$ \angle AOB=\frac{\pi}{6} $
C.$ |\overrightarrow{BC}|=1 $
D.$ |\overrightarrow{OD}|=\frac{2\sqrt{6}}{3} $

答案： 8.AD 对于A，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\vert=\vert(\sqrt{3},-\sqrt{3})\vert=\sqrt{6}$，故A正确；对于B，因为$\cos\angle AOB=\frac{\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}}{\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{2}{ \sqrt{8}× \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，所以$\angle AOB=\frac{\pi}{3}$，故B错误；对于C，因为$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{OA}=0$，所以$\overrightarrow{BC}$为边$OA$上的高，$\triangle OAB$的面积为$S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{OA}\vert·\vert\overrightarrow{OB}\vert\sin\angle AOB=\frac{1}{2}×\sqrt{8}×\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，所以$\vert\overrightarrow{BC}\vert=\frac{2S}{\vert\overrightarrow{OA}\vert}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，故C错误；对于D，因为$\overrightarrow{OD}=\lambda(\frac{\overrightarrow{OA}}{\vert\overrightarrow{OA}\vert}+\frac{\overrightarrow{OB}}{\vert\overrightarrow{OB}\vert})$，所以$\overrightarrow{OD}$平分$\angle AOB$，即$\angle BOD=\frac{\pi}{6}$，又$\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{AB}=0$，所以$\overrightarrow{OB}\perp\overrightarrow{AB}$，所以$\vert\overrightarrow{OD}\vert=\frac{\vert\overrightarrow{OB}\vert}{\cos\frac{\pi}{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，故D正确.故选AD.