《2026年一本密卷高考数学》

12. （15 分）（2025·浙江省金华市义乌市三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率 $\frac{7}{8}$，色准检测通过率 $\frac{4}{5}$. 产品需通过两项检测才算合格. 随机抽取 3 件产品，设合格品数为 $X$.
（1）求单件产品为合格品的概率；
（2）求 $X$ 的分布列及数学期望；
（3）已知合格品利润 100 元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至 $\frac{9}{10}$，但每件成本增加 1 元. 是否值得改进？

答案： 12.解：
(1)设合格的概率为$P$，则$P = P(亮度通过)×P(色准通过) = 0.875×0.8 = 0.7$。
(2)$X = 0,1,2,3$，易知$X \sim B(3,0.7)$。
$P(X = 0) = C_3^0×0.7^0×0.3^3 = 1×1×0.027 = 0.027$；
$P(X = 1) = C_3^1×0.7^1×0.3^2 = 3×0.7×0.09 = 0.189$；
$P(X = 2) = C_3^2×0.7^2×0.3^1 = 3×0.49×0.3 = 0.441$；
$P(X = 3) = C_3^3×0.7^3×0.3^0 = 1×0.343×1 = 0.343$。
所以$X$的分布列为：
|$X$|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|$P$|0.027|0.189|0.441|0.343|
数学期望$E(X) = np = 3×0.7 = 2.1$。
(3)改进前：每件产品的合格概率$p = 0.7$。对于3件产品，期望合格数$E(X) = 2.1$。总期望利润$= E(X)×100 = 2.1×100 = 210$（元）。
改进后：每件产品的合格概率$p' = 0.72$，对于3件产品，新的期望合格数$E(X') = 3×0.72 = 2.16$。总期望利润$= E(X')×100 = 2.16×100 = 216$（元）。净期望利润$= 216 - 3 = 213$（元）。
改进前的期望利润是210元，改进后是213元，改进后利润增加了3元。