《2026年一本密卷高考数学》

1. 已知集合 $ A = \{ x | y = \sqrt{x - 2} \} $, $ B = \{ x | x^2 - 4x + 3 \leq 0 \} $, 则 $ A \cup B = $ (D)

A.$ \{ x | 2 \leq x \leq 3 \} $
B.$ \{ x | x \geq 2 \} $
C.$ \{ x | x \leq 1 $, 或 $ x \geq 2 \} $
D.$ \{ x | x \geq 1 \} $

答案： 1.D 因为集合$A=\{x\mid y=\sqrt{x - 2}\}=\{x\mid x\geq2\}$，集合$B=\{x\mid x^2 - 4x + 3\leq0\}=\{x\mid1\leq x\leq3\}$，所以$A\cup B=\{x\mid x\geq1\}$.故选D.

2. 复数 $ z $ 满足 $ (1 - i)z = |2i| $, 则复数 $ z $ 的虚部为 (D)

A.$ -1 $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ 1 $

答案： 2.D 因为$(1 - i)z = |2i|$，即$(1 - i)z = 2$，所以$z = \frac{2}{1 - i}=\frac{2(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = 1 + i$，所以复数$z$的虚部为1.故选D.

3. 已知向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}| = 2 $, $ |\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}| = 2 $, 且 $ (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a} $, 则 $ |\boldsymbol{b}| = $ (A)

A.$ 2 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： 3.A 因为$|a| = 2$，$|a - 2b| = 2$，且$(a - b)\perp a$，所以$\begin{cases}(a - 2b)^2 = a^2 - 4a· b + 4b^2 = 4\\(a - b)· a = a^2 - a· b = 0\end{cases}$，即$a· b = |a|^2 = 4$，$2^2 - 4×4 + 4|b|^2 = 4$，解得$|b| = 2$（负值已舍去）.故选A.

4. 若 $ \alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) $, $ \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha - 1} $, 则 $ \sin \alpha = $ (A)

A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ -\frac{1}{3} $

答案： 4.A 由$\tan\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha - 1}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，得$\cos^2\alpha = \sin^2\alpha - \sin\alpha$，$\because\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，$\therefore2\sin^2\alpha - \sin\alpha - 1 = 0$，即$(2\sin\alpha + 1)(\sin\alpha - 1) = 0$，解得$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$或$\sin\alpha = 1$，$\because\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，$\therefore - 1 ＜ \sin\alpha ＜ 0$，$\therefore\sin\alpha = -\frac{1}{2}$.故选A.

5. 在正三棱台 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中, $ AB = 4 $, $ A_1B_1 = 2 $, $ A_1A $ 与平面 $ ABC $ 所成角为 $ \frac{\pi}{4} $, 则该三棱台的体积为 (C)

A.$ \frac{52}{3} $
B.$ \frac{28}{3} $
C.$ \frac{14}{3} $
D.$ \frac{7}{3} $

答案：
5.C 由题设，将棱台补全为正棱锥$P - ABC$，如图，且$\triangle A_1B_1C_1$，$\triangle ABC$均为正三角形，其中$O$为底面$ABC$中心，连接$PO$，则$PO\perp$面$ABC$，而$AO\subset$面$ABC$，即$PO\perp AO$，所以$A_1A$与平面$ABC$所成角为$\angle PAO = \frac{\pi}{4}$，而$AB = 4$，则$AO = \frac{2}{3}× AB·\sin60° = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以$PO = AO = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，令$P - A_1B_1C_1$的高为$h$，结合棱台的结构特征，知$\frac{h}{PO}=\frac{A_1B_1}{AB}\Rightarrow h=\frac{PO}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以棱台体积$V = V_{P - ABC}-V_{P - A_1B_1C_1}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×(4^2×\frac{4\sqrt{3}}{3}-2^2×\frac{2\sqrt{3}}{3})=\frac{14}{3}$.

故选C.

6. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x ＜ 2, \\ (x - 1)(x - 2)^2 + a, & x \geq 2 \end{cases} $ 存在最小值, 则实数 $ a $ 的取值范围是 (C)

A.$ (-\infty, -e^2] $
B.$ (-e^2, +\infty) $
C.$ (-\infty, e^{-2}] $
D.$ (e^{-2}, +\infty) $

答案： 6.C 当$x ＜ 2$时，函数$f(x) = e^{-x}$单调递减，$f(x) ＞ e^{-2}$无最小值；当$x\geq2$时，函数$f(x) = (x - 1)(x - 2)^2 + a$，当$x\geq2$时，函数$f'(x) = (x - 2)^2 + 2(x - 2)(x - 1) = (x - 2)(3x - 4)$，所以$x\in[2,+\infty)$，$f'(x)\geq0$，$f(x)$单调递增，当$x = 2$时，$f(x)_{\min} = (2 - 1)(2 - 2)^2 + a = a$，要使函数$f(x)$存在最小值，即$a\leq e^{-2}$.故选C.

7. 将函数 $ g(x) = \cos (\omega x + \frac{\pi}{12}) (\omega \in \mathbf{N}^*) $ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $ \frac{1}{2} $, 纵坐标变为原来的 $ 2 $ 倍, 得到函数 $ f(x) $ 的图象, 若 $ f(x) $ 在 $ (0, \frac{\pi}{2}) $ 上只有一个极大值点, 则 $ \omega $ 的最大值为 (B)

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案：
7.B 由题可知$f(x) = 2\cos(2\omega x + \frac{\pi}{12})(\omega\in N^*)$，当$0 ＜ x ＜ \frac{\pi}{2}$时，$\frac{\pi}{12} ＜ 2\omega x + \frac{\pi}{12} ＜ \omega\pi + \frac{\pi}{12}$，若$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上只有一个极大值点，则由$y = 2\cos x$的图象可得$2\pi ＜ \omega\pi + \frac{\pi}{12}\leq4\pi$，解得$\frac{23}{12} ＜ \omega\leq\frac{47}{12}$，因为$\omega\in N^*$，所以$\omega$的最大值为3.

故选B.

8. 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $, 函数 $ F(x) = f(1 + x) - (1 + x) $ 为偶函数, 函数 $ G(x) = f(2 + 3x) - 1 $ 为奇函数, 则下列说法错误的是 (C)

A.函数 $ f(x) $ 的一个对称中心为 $ (2, 1) $
B.$ f(0) = -1 $
C.函数 $ f(x) $ 为周期函数, 且一个周期为 $ 4 $
D.$ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 6 $

答案： 8.C 对于A，因为$G(x) = f(2 + 3x) - 1$为奇函数，所以$G(-x) = -G(x)$，即$f(2 - 3x) - 1 = -[f(2 + 3x) - 1]$，所以$f(2 - 3x) + f(2 + 3x) = 2$，所以$f(2 - x) + f(2 + x) = 2$，所以函数$f(x)$的图象关于点$(2,1)$对称，所以A正确.对于B，在$f(2 - x) + f(2 + x) = 2$中，令$x = 0$，得$2f(2) = 2$，得$f(2) = 1$，因为函数$F(x) = f(1 + x) - (1 + x)$为偶函数，所以$F(-x) = F(x)$，所以$f(1 - x) - (1 - x) = f(1 + x) - (1 + x)$，所以$f(1 + x) - f(1 - x) = 2x$，令$x = 1$，则$f(2) - f(0) = 2$，所以$1 - f(0) = 2$，得$f(0) = -1$，所以B正确.对于C，因为函数$f(x)$的图象关于点$(2,1)$对称，$f(0) = -1$，所以$f(4) = 3$，所以$f(0)\neq f(4)$，所以4不是$f(x)$的周期，所以C错误.对于D，在$f(2 - x) + f(2 + x) = 2$中令$x = 1$，则$f(1) + f(3) = 2$，令$x = 2$，则$f(0) + f(4) = 2$，因为$f(0) = -1$，所以$f(4) = 3$，因为$f(2) = 1$，所以$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 6$，所以D正确.故选C.